Zeta Functions

単に zeta 関数と言えば, Riemann zeta 関数 \(\zeta (z)\) のことを指すと思うが, 他にも zeta 関数と名の付くものは, 様々なところに登場する。

• Riemann zeta function
• 有限体上の代数多様体のzeta 関数 (arithmetic zeta function)
• multiple zeta value あるいは polyzeta function
• Lie algebra あるいは root系から定義される zeta関数 [Wit91; KMT07]
• グラフの zeta関数
• finite category の zeta関数 [Nog13; Nog]
• Nielsen zeta function, Reidemeister zeta function, Lefschetz zeta function など fixed point theory で出てくる不変量を用いた zeta関数, そしてより一般に 力学系から定義される zeta関数 [Fel00; Rue02]

有限体上の代数多様体 (scheme) の zeta関数は, もちろん, Weil予想で中心的役割を果すものである。Grothendieck による étale cohomology の導入と Deligne の仕事 [Del74; Del80] により Weil 予想は証明されたが, 有限体上の scheme の zeta 関数は, 他にも様々なものと関係していて興味深い。 Ramachandran の [Ram15] は, \(\Z \) の Witt ring \(W(\Z )\) と関連づけようとしているが, その motivation について述べた序文が興味深い。

これらの話題と, \(\F _1\) 上の代数幾何学や tropical geometry, そして, 安定ホモトピー論などとの関係については, Connes の essay [Con16] に書かれている。

様々な zeta関数を, decomposition space を用いて統一的に扱えることを Kobin が [Kob] で解説している。Decomposition space とは, Gálvez-Carrillo と Kock と Tonks により [GKT] で導入された概念であり, Dyckerhoff と Kapranov [DK; DK19] の \(2\)-Segal space と同等の概念である。

その Connes は, Bost との共著 [BC95] で, partition function が Riemann zeta 関数になる \(C^{*}\)-algebra 上の dynamical system を構成しているが, これが Connes が zeta 関数について考えるようになった切っ掛けなのだろうか。

Multiple zeta value と quasisymmetric function の成す Hopf algebra との関係については, Hoffman の [Hof05] で調べられている。

力学系の zeta関数と数論に登場する zeta関数との関係 (類似) については, Deninger [Den98; Den01] により色々調べられている。 [Den08] に「辞書」がある。

Majid と Tomasic [MT11] は, braided monoidal category の object の braided dimension を用いて, \(q\)-deformed algebra の zeta関数を定義することを提案している。その元になっているのは, Kapranov [Kap] の symmetric product を用いたもののようであるが。

その手のもので, algebraic variety の Grothendieck ring \(K_0(\category {Var}/k)\) に値を持つ motivic zeta function と呼ばれるものがある。Denef と Loeser の [DL98] やKapranov の [Kap] など。

• motivic zeta function

Galkin と Shnider [GS] は, pretriangulated dg category の motivic zeta function を定義し, それと algebraic variety の motivic zeta function の関係を調べている。

Kassel と Reutenauer [KR14] は, Kontsevich の [Kon] に触発されて, noncommutative Laurent series に係数を持 つ行列の zeta関数を定義している。

References

[BC95]

J.-B. Bost and A. Connes. “Hecke algebras, type III factors and phase transitions with spontaneous symmetry breaking in number theory”. In: Selecta Math. (N.S.) 1.3 (1995), pp. 411–457. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01589495.

[Con16]

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[Del74]

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[Del80]

Pierre Deligne. “La conjecture de Weil. II”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 52 (1980), pp. 137–252. url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1980__52__137_0.

[Den01]

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[Den08]

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[Den98]

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[DK19]

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[Hof05]

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