Noncommutative Geometry and Topology

幾何学的対象を代数化しようとすると可換になる。典型的な例は, compact Hausdorff 空間と可換な \(C^*\)-algebra の間の Gel\('\)fand-Naimark duality である。 そして, Grothendieck により affine algebraic geometry と可換環論が同じものになった。

非可換な \(C^*\)-algebra を非可換な空間と考え, 幾何学やトポロジーをやってみよう, というのは自然なアイデアだろう。 de Rham complex の類似を代数的に作ることができれば, それが非可換な可微分多様体である。

• 非可換微分幾何学
• 非可換多様体

このアイデアを推し進めたのが, A. Connes である。Connes は, [Con83] で, そのために cyclic homology を導入した。 非可換幾何学の始まりは Connes の [Con85] であると言っていいだろう。 Connes は, 非可換幾何学の解説も多数書いている。Connes 以外の人も, もちろん解説を書いている。

• 非可換幾何学に関する解説

一方, 可換環の \(\mathrm{Spec}\) を非可換環に拡張するのは難しいようである。Reyes [Rey12] は集合に値をとる \(\mathrm{Spec}\) の拡張である functor は, \(3\)次以上の行列環で自明になってしまうことを示している。よって, \(\mathrm{Spec}\) の拡張の値域としては, 位相空間のように集合に基づいたものではない「空間」を考えるべきであるが, van den Berg と Heunen [BH] によると, locale に値を持つ functor でも, \(3\) 次以上の行列環で自明になってしまうようである。 もちろん, それ以外のアイデアで, 代数幾何学を非可換化しようという試みはある。

• 非可換代数幾何学

可換な幾何学と非可換幾何学の間の辞書は様々なところに書かれているので, まずその対応を理解するのがいいだろう。

• 可換な幾何学と非可換幾何学での対応する概念

時空の非可換性が非常に小さな距離だけで見える, という “locally noncommutative spacetime” を考えている人 [HNW] もいる。

可換な幾何学での \(\mathrm{Spin}_c\) 多様体に対応するものが spectral triple であるが, その数論幾何 (Arakelov geometry) への応用も考えられている。Consani と Marcolli の [CMb; CMa] や Cornelissen と Marcolli と Reihani と Vdovina の [Cor+] など。 他の数論と非可換幾何学の関係については, 次のページにまとめた。

• 非可換幾何学と数論

Soibelman ら [Soi09; Soi08] は、 non-archimedian field 上の非可換幾何を考えている。非可換代数幾何に近いが, analytic space を考えているからちょっと違う。

複素多様体の非可換版としては, Beggs と Smith の[BS] などがある。

代数的な構造としては, 群の上での非可換幾何学も考えられている。Majid らの [Maj05; PMR] などである。 群論への応用もあるようで興味深い。

代数的トポロジーの視点からは, 非可換位相空間のホモトピー論を考えたくなる。

• 非可換ホモトピー論

このように個々の「可換な空間」の非可換な一般化を考えることを, Ginzburg [Gin] は, noncommutative geometry in the small と呼んでいる。それに対し, noncommutative geometry in the large もある。 「可換な空間」を含むのではなく, それと類似の parallel world があるという立場である。 この Mahanta の [Mah10] のように, ホモトピー論的にはこちらの方が面白いかもしれない。

• noncommutative geometry in the large

非可換幾何と quantization とを組み合わせることは, まだあまり考えられていないようである。Ruuge と van Oystaeyen の [RV11] ぐらいだろうか。

更に, 結合法則も成り立たない場合を考えている人もいる。

• nonassociative geometry

Barnes と Schlenk と Szabo の [BSSa; BSSb] では, string theory からの動機 付けで, nonassociative noncommutative geometry が展開されている。

References

[BH]

Benno van den Berg and Chris Heunen. Extending obstructions to noncommutative functorial spectra. arXiv: 1407.2745.

[BS]

Edwin Beggs and S. Paul Smith. Noncommutative complex differential geometry. arXiv: 1209.3595.

[BSSa]

Gwendolyn E. Barnes, Alexander Schenkel, and Richard J. Szabo. Nonassociative geometry in quasi-Hopf representation categories I: Bimodules and their internal homomorphisms. arXiv: 1409.6331.

[BSSb]

Gwendolyn E. Barnes, Alexander Schenkel, and Richard J. Szabo. Nonassociative geometry in quasi-Hopf representation categories II: Connections and curvature. arXiv: 1507.02792.

[CMa]

Caterina Consani and Matilde Marcolli. New perspectives in Arakelov geometry. arXiv: math/0210357.

[CMb]

Caterina Consani and Matilde Marcolli. Non-commutative geometry, dynamics, and infinity-adic Arakelov geometry. arXiv: math/0205306.

[Con83]

Alain Connes. “Cohomologie cyclique et foncteurs \(\mathrm{Ext}^{n}\)”. In: C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 296.23 (1983), pp. 953–958.

[Con85]

Alain Connes. “Noncommutative differential geometry”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 62 (1985), pp. 257–360. url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1985__62__257_0.

[Cor+]

Gunther Cornelissen, Matilde Marcolli, Kamran Reihani, and Alina Vdovina. Noncommutative geometry on trees and buildings. arXiv: math/0604114.

[Gin]

Victor Ginzburg. Lectures on Noncommutative Geometry. arXiv: math/0506603.

[HNW]

Jakob G. Heller, Nikolai Neumaier, and Stefan Waldmann. A \(C^*\)-Algebraic Model for Locally Noncommutative Spacetimes. arXiv: math/0609850.

[Mah10]

Snigdhayan Mahanta. “Noncommutative geometry in the framework of differential graded categories”. In: Arithmetic and geometry around quantization. Vol. 279. Progr. Math. Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., 2010, pp. 253–275. arXiv: 0805.1628. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-4831-2_9.

[Maj05]

Shahn Majid. “Noncommutative differentials and Yang-Mills on permutation groups \(S_{n}\)”. In: Hopf algebras in noncommutative geometry and physics. Vol. 239. Lecture Notes in Pure and Appl. Math. New York: Dekker, 2005, pp. 189–213. arXiv: math/0105253.

[PMR]

Javier López Peña, Shahn Majid, and Konstanze Rietsch. Lie theory of finite simple groups and the Roth property. arXiv: 1003.5611.

[Rey12]

Manuel L. Reyes. “Obstructing extensions of the functor Spec to noncommutative rings”. In: Israel J. Math. 192.2 (2012), pp. 667–698. arXiv: 1101.2239. url: https://doi.org/10.1007/s11856-012-0043-y.

[RV11]

Artur E. Ruuge and Freddy Van Oystaeyen. “Distortion of the Poisson bracket by the noncommutative Planck constants”. In: Comm. Math. Phys. 304.2 (2011), pp. 369–393. arXiv: 0910.2949. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-011-1230-0.

[Soi08]

Yan Soibelman. “Quantum \(p\)-adic spaces and quantum \(p\)-adic groups”. In: Geometry and dynamics of groups and spaces. Vol. 265. Progr. Math. Basel: Birkhäuser, 2008, pp. 697–719. arXiv: 0704.2890. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-7643-8608-5_18.

[Soi09]

Y. Soibelman. “On non-commutative analytic spaces over non-Archimedean fields”. In: Homological mirror symmetry. Vol. 757. Lecture Notes in Phys. Berlin: Springer, 2009, pp. 221–247. arXiv: math/0606001.