変な空間

代数的トポロジーを一生懸命勉強していると, 世の中には CW複体しか存在しないか, のような錯覚に陥いる。 いろんな homology の計算の練習をしていると, 全ての空間で

という同型が成り立つような気がしてくる。 このような麻痺した感覚を元に戻すためには, ときどき “変な空間” を考えてみるのがいいと思う。

また, 勉強した定理の条件が本当に必要な条件かどうかを確かめるためにも, それらの条件をみたさない “変な空間” を考えるとよい。

そのような空間を集めた本として, Seebach と Steen の [SS95] がある。また, データベースとして \(\pi \)-Base というサイトがある。

例えば, 「良い」 多様体は, 単体分割可能であり, CW複体とみなして議論してよい。ところが, 世の中にはCW複体のホモトピー型を持たない多様体が存在する。

• metrizable でない多様体

Gabard の [Gab08] に Prüfer surface という separable であるが, metrizable ではない多様体の例が挙げてある。

多様体の条件に Hausdorff を入れることの説明によく使われるのが, 二本の \(\R \) を原点以外で同一視してできる空間であるが, Gabard は, これもCW複体のホモトピー型を持たないことを示している。

• Prüfer surface
• line with two origins

他には, 以下のような空間がある。

• dogbone space [Bin57]
• Hawaiian earring とその高次元版
• harmonic archipelago
• Sierpinski gasket
• Cantor set
• solenoid
• Bing’s house
• Zeeman’s dance hat
• Pontrjagin の曲面 \(\Pi _q\)

• 素数 \(q\) に対し Pontrjagin の曲面 \(\Pi _q\) は

  \[ \dim \Pi _q=2 \]
  であるが, \(p\neq q\) のとき
  \[ \dim \Pi _p\times \Pi _q=3 \]
  である。
• Case-Chamberlin continuum [EKR]

Ultrametric を持つ Cantor set は, 非可換 Riemann 多様体と考えることができるようである。つまり, spectral triple を定義できる [PB]。

Hawaiian earring の 基本群については, [Fab05; Fabb], Harmonic archipelago の基本群は, [Faba] という研究がある。

Hawaiian earring の 高次ホモトピー群について, この MathOverflow の質問で議論されている。どうやら, 高次ホモトピー群は自明なようである。 文献としては, [CCZ02] が挙げられている。

このような変な空間に対しては, 基本群や 高次ホモトピー群は, discrete group ではなく compact-open topology から誘導された位相を持つとみなすべきのようである。

• topological homotopy groups

Hawaiian earring の高次元版は, Eda と Kawamura の[EK00] で考えられている。例えば Karimov と Repovš の [KR06; KR10] などで登場する。前者は, 球面の代わりに Hawaiian earring の高次元版を用いた ホモトピー群の類似について書かれたものである。 Babaee らの [BMM] では, Hawaiian group と呼ばれている。

このような空間を扱う枠組みも色々考えられている。例えば, Steenrod homotopy theory [Mel09] とか。 Spectral triple を用いて, noncommutative fractal geometry として扱おうという試みもある。例えば, Christensen と Ivan と Schrohe の [CIS] を見てみるとよい。

• fractal

References

[Bin57]

R. H. Bing. “A decomposition of \(E^{3}\) into points and tame arcs such that the decomposition space is topologically different from \(E^{3}\)”. In: Ann. of Math. (2) 65 (1957), pp. 484–500.

[BMM]

Ameneh Babaee, Behrooz Mashayekhy, and Hanieh Mirebrahimi. On Hawaiian Groups of Some Topological Spaces. arXiv: 1111.0731.

[CCZ02]

J. W. Cannon, G. R. Conner, and Andreas Zastrow. “One-dimensional sets and planar sets are aspherical”. In: vol. 120. 1-2. In memory of T. Benny Rushing. 2002, pp. 23–45. url: https://doi.org/10.1016/S0166-8641(01)00005-0.

[CIS]

Erik Christensen, Cristina Ivan, and Elmar Schrohe. Spectral triples and the geometry of fractals. arXiv: 1002.3081.

[EK00]

Katsuya Eda and Kazuhiro Kawamura. “Homotopy and homology groups of the \(n\)-dimensional Hawaiian earring”. In: Fund. Math. 165.1 (2000), pp. 17–28. url: https://doi.org/10.4064/fm-165-1-17-28.

[EKR]

K. Eda, U. H. Karimov, and D. Repovš. On the fundamental group of \(\R ^3\) modulo the Case-Chamberlin continuum. arXiv: 0705.4159.

[Faba]

Paul Fabel. The fundamental group of the harmonic archipelago. arXiv: math/0501426.

[Fabb]

Paul Fabel. The Hawaiian earring group is topologically incomplete. arXiv: math/0502148.

[Fab05]

Paul Fabel. “The topological Hawaiian earring group does not embed in the inverse limit of free groups”. In: Algebr. Geom. Topol. 5 (2005), 1585–1587 (electronic). arXiv: math/0501482. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2005.5.1585.

[Gab08]

Alexandre Gabard. “A separable manifold failing to have the homotopy type of a CW-complex”. In: Arch. Math. (Basel) 90.3 (2008), pp. 267–274. arXiv: math/0609665. url: https://doi.org/10.1007/s00013-007-2321-1.

[KR06]

U. Kh. Karimov and D. Repovsh. “Hawaiian groups of topological spaces”. In: Uspekhi Mat. Nauk 61.5(371) (2006), pp. 185–186. url: https://doi.org/10.1070/RM2006v061n05ABEH004363.

[KR10]

Umed H. Karimov and Dušan Repovš. “On noncontractible compacta with trivial homology and homotopy groups”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 138.4 (2010), pp. 1525–1531. arXiv: 0910.0531. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9939-09-10217-4.

[Mel09]

S. A. Melikhov. “Steenrod homotopy”. In: Uspekhi Mat. Nauk 64.3(387) (2009), pp. 73–166. arXiv: 0812.1407. url: https://doi.org/10.1070/RM2009v064n03ABEH004620.

[PB]

John Pearson and Jean Bellissard. Noncommutative Riemannian Geometry and Diffusion on Ultrametric Cantor Sets. arXiv: 0802.1336.

[SS95]

Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach Jr. Counterexamples in topology. Reprint of the second (1978) edition. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 1995, pp. xii+244. isbn: 0-486-68735-X.