Generalizations and Variations of Hopf Algebras

Hopf algebra は, coalgebra の圏における group object である。 その定義は, 様々な分野で必要に応じて拡張されてきた。各種一般化については, Karaali の survey [Kar08] がある。

まず, 基本的な構造として, coalgebra と bialgebra がある。

• coalgebra
• bialgebra

代数的トポロジーでは, 次のような概念が導入された。

• graded Hopf algebra (bialgebra) [MM65]
• differential graded Hopf algebra (bialgebra) [Bro63]
• Hopf algebroid
• Hopf ring

Hopf algebroid は, complex oriented cohomology theory の理論で導入された概念であるが, その後, 不要な条件が外されるなど, 定義はかなり洗練されている。基本となるのは bialgebroid であるが, bicoalgebroid という概念も導入されている。Brzezinski と Militaru の [BM02] で導入された。

• bialgebroid
• bicoalgebroid

代数的トポロジーで扱われるものは, 基本的に次数付きであり, その基本的な性質は, Milnor と Moore の論文 [MM65] で調べられている。また, 関係した spectral sequence も graded Hopf algebra の構造を持つことが多く, differential graded (bigraded) Hopf algebra も良く使われる。Browder の論文は, その differential graded Hopf algebra の基本的な性質を調べたものである。

Quantum group に関係したものとしては, quasi-bialgebra, そして quasi-Hopf algebra がある。Drinfeld [Dri89a; Dri89b] により導入された, coproduct の coassociativity の条件を \(3\)-cycle により少し緩めたものである。Algebra を object \(1\)つの linear category とみなしたときには, これは natural transformation に対応しているものである。

• quasi-bialgebraや quasi-Hopf algebra

Quantum group に関係したものとしては, 上記の Hopf algebroid も現われる。ただし安定ホモトピー論で使われる Hopf algebroid よりもずっと一般的なものである。

また associativity を完全に無視する代わりに, antipode の存在に着目したのが, Klim と Majid [KM10] の Hopf quasigroup である。

• Hopf quasigroup と Hopf coquasigroup

これは, algebraic loop を線形化したものである。 Brzezinski [Brz10] は, その上の Hopf module を定義し, Galois map による Hopf (co)quasigroup の特徴付けを与えている。

Associativity や coassociativity についてはそのままで, coproduct が unit を保たなくてもよいとする立場もある。

• weak Hopf algebra

Cocommutativity を natural transformation で弱めたものもある。 Drinfel\('\)d [Dri87] の quasitriangular Hopf-algebra である。

• quasitriangular Hopf-algebra
• quasitriangular quasi-Hopf-algebra

Gould と Lekatsas は [GL] で quasi-Hopf \(*\)-algebra というものを定義している。

Braiding や Poisson structure を持つものもある。

• braided Hopf algebra
• Poisson Hopf algebra [Ago14]

Hopf algebra の partial action に関連した一般化として, Martini と Paques と Silva が [MPS23] で導入した \(\lambda \)-Hopf algebra というものもある。

• \(\lambda \)-Hopf algebra

単位元を持たない場合のために, Van Daele [Van94] により導入されたのが multiplier Hopf algebra である。その定義は bialgebra に更に antipode を加えた, という形になっていないので, multiplier bialgebra の定義は, 後で Böhm ら [BGL15] により発見された。 Van Daele は Wang と共にそれを更に一般化した weak multiplier Hopf algebra を一連の論文 [VW12; VW15; VWa; VWb] で導入し調べている。

• multiplier algebra
• multiplier Hopf algebra
• multiplier bialgebra
• weak multiplier Hopf algebra

Hopf algebra (bialgebra) に更に演算を加えたものも, 物理では必要になるようである。 群 (monoid) から その group (monoid) ring として bialgebra ができるように, \(2\)-group の “group ring” を定義するために, Pfeiffer [Pfe07] が trialgebra という概念を導入している。

• Pfeiffer の trialgebra

ただ, trialgebra という名前は, Loday と Ronco [LR04] によっても使われているが, それは dialgebra に演算を加えたものであり, Pfeiffer のものとは別物である。

Group ring はその群の上の関数環の dual であるが, 位相群に対しては関数環そのものを考えた方がよい。その立場からも Hopf algebra の条件を弱めたものが必要になる。例えば \(\alpha \) を無理数とし, \(S^1\) の \(2\pi \alpha \Z \) による quotient のような “bad quotient” を考えるために導入された [TWZ07; BTW08] のが Hopfish algebra という概念である。

• Hopfish algebra

Lodayは, operad の言葉を用いて, bialgebra やその一般化の structure theorem について [Lod08] で述べている。

• operad を用いた bialgebra の一般化

Livernet と Patras は, [LP08] で, coalgebra の圏での operad を Hopf operad と呼んでいる。

圏論的な一般化として Hopf monad [BV07] というものもある。

• Hopf monad

より素朴に, algebra が module の category の monoid object であることを一般化することもできる。つまり, monoid object かつ comonoid object の構造を持つものを bimonoid と定義し, 更に antipode を持つものを Hopf monoid と定義する。

• bimonoid や Hopf monoid

別の圏論的な視点から定義されたものとして, Gal と Gal [GG17] の symmetric self-adjoint Hopf category がある。Positive self-adjoint Hopf algebra が有限集合の圏から ある種の graded module の圏への symmetric monoidal functor であることに着目し, 有限集合の圏から semisimple Abelian \(k\)-linear category と exact functor の成す圏への (\((\infty ,2)\)-category としての) symmetric monoidal functor として定義されている。

更に, Batista, Caenepeel, Vercruysse [BCV16] が, monoidal category \(\bm {V}\) の comonoid の成す monoidal category で enrich された category で antipode を持つものことを Hopf category として定義している。こちらの方が, 様々な Hopf algebra の一般化と関係が付け易いようである。 その一般化として, Buckley らが [Buc+21] で, monoidal bicategory での (op)lax Hopf monoid object という概念を定義している。

• Batista, Caenepeel, Vercruysse の Hopf \(\bm {V}\)-category
• (op)lax Hopf monoid

Turaev が, homotopy quantum field theory のために, 群 \(\pi \) に対して [Tur] で導入し た modular crossed \(\pi \)-category という概念があるが, その特別な場合としてl Hopf \(\pi \)-coalgebra という構造が定義される。 Virelizier [Vir02] で, 通常の Hopf algebra との比較が行なわれている。

• Hopf group coalgebra

Virelizier は Sözer との共著 [SV] で, その一般化として, crossed module \(\chi \) に対し, Hopf \(\chi \)-coalgebra の概念を導入している。

• Hopf crossed module coalgebra

References

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