Generalizations and Variations of Hopf Algebras

Hopf algebra は, coalgebra の圏における group object である。 その定義は, 様々な分野で必要に応じて拡張されてきた。各種一般化については, Karaali の survey [Kar08] がある。

まず, 基本的な構造として, coalgebra と bialgebra がある。

代数的トポロジーでは, 次のような概念が導入された。

Hopf algebroid は, complex oriented cohomology theory の理論で導入された概念であるが, その後, 不要な条件が外されるなど, 定義はかなり洗練されている。基本となるのは bialgebroid であるが, bicoalgebroid という概念も導入されている。Brzezinski と Militaru の [BM02] で導入された。

  • bialgebroid
  • bicoalgebroid

代数的トポロジーで扱われるものは, 基本的に次数付きであり, その基本的な性質は, Milnor と Moore の論文 [MM65] で調べられている。また, 関係した spectral sequence も graded Hopf algebra の構造を持つことが多く, differential graded (bigraded) Hopf algebra も良く使われる。Browder の論文は, その differential graded Hopf algebra の基本的な性質を調べたものである。

Quantum group に関係したものとしては, quasi-bialgebra, そして quasi-Hopf algebra がある。Drinfeld [Dri89a; Dri89b] により導入された, coproduct の coassociativity の条件を \(3\)-cycle により少し緩めたものである。Algebra を object \(1\)つの linear category とみなしたときには, これは natural transformation に対応しているものである。

Quantum group に関係したものとしては, 上記の Hopf algebroid も現われる。ただし安定ホモトピー論で使われる Hopf algebroid よりもずっと一般的なものである。

また associativity を完全に無視する代わりに, antipode の存在に着目したのが, Klim と Majid [KM10] の Hopf quasigroup である。

  • Hopf quasigroup と Hopf coquasigroup

これは, algebraic loop を線形化したものである。 Brzezinski [Brz10] は, その上の Hopf module を定義し, Galois map による Hopf (co)quasigroup の特徴付けを与えている。

Associativity や coassociativity についてはそのままで, coproduct が unit を保たなくてもよいとする立場もある。

Cocommutativity を natural transformation で弱めたものもある。 Drinfel\('\)d [Dri87] の quasitriangular Hopf-algebra である。

Gould と Lekatsas は [GL] で quasi-Hopf \(*\)-algebra というものを定義している。

BraidingPoisson structure を持つものもある。

単位元を持たない場合のために, Van Daele [Van94] により導入されたのが multiplier Hopf algebra である。その定義は bialgebra に更に antipode を加えた, という形になっていないので, multiplier bialgebra の定義は, 後で Böhm ら [BGL] により発見された。

  • multiplier Hopf algebra
  • multiplier bialgebra

Hopf algebra (bialgebra) に更に演算を加えたものも, 物理では必要になるようである。 群 (monoid) から その group (monoid) ring として bialgebra ができるように, \(2\)-group の “group ring” を定義するために, Pfeiffer [Pfe07] が trialgebra という概念を導入している。

  • Pfeiffer の trialgebra

ただ, trialgebra という名前は, Loday と Ronco [LR04] によっても使われているが, それは dialgebra に演算を加えたものであり, Pfeiffer のものとは別物である。

Group ring はその群の上の関数環の dual であるが, 位相群に対しては関数環そのものを考えた方がよい。その立場からも Hopf algebra の条件を弱めたものが必要になる。例えば \(\alpha \) を無理数とし, \(S^1\) の \(2\pi \alpha \Z \) による quotient のような “bad quotient” を考えるために導入された [TWZ07; BTW] のが Hopfish algebra という概念である。

  • Hopfish algebra

Lodayは, operad の言葉を用いて, bialgebra やその一般化の structure theorem について [Lod08] で述べている。

  • operad を用いた bialgebra の一般化

Livernet と Patras は, [LP] で, coalgebra の圏での operad を Hopf operad と呼んでいる。

圏論的な一般化として Hopf monad [BV07] というものもある。

より素朴に, algebra が module の category の monoid object であることを一般化しようという試みもある。 例えば, Böhm と Lack が, 一連の論文 [BLb; BL17a; BL17b; BLa] で色々調べている multiplier bialgebra の一般化である multiplier bimonoid がある。

  • multiplier bimonoid

別の圏論的な視点から定義されたものとして, Gal と Gal [GG] の symmetric self-adjoint Hopf category がある。Positive self-adjoint Hopf algebra が有限集合の圏から ある種の graded module の圏への symmetric monoidal functor であることに着目し, 有限集合の圏から semisimple Abelian \(k\)-linear category と exact functor の成す圏への (\((\infty ,2)\)-category としての) symmetric monoidal functor として定義されている。

更に, Batista, Caenepeel, Vercruysse [BCV16] が, monoidal category \(\bm {V}\) の comonoid の成す monoidal category で enrich された category で antipode を持つものことを Hopf category として定義している。こちらの方が, 様々な Hopf algebra の一般化と関係が付け易いようである。 その一般化として, Buckley らが [Buc+] で, monoidal bicategory での (op)lax Hopf monoid object という概念を定義している。

  • Batista, Caenepeel, Vercruysse の Hopf \(\bm {V}\)-category
  • (op)lax Hopf monoid

References

[Ago]

A. L. Agore. Free Poisson Hopf algebras generated by coalgebras. arXiv: 1404.0170.

[BCV16]

E. Batista, S. Caenepeel, and J. Vercruysse. “Hopf categories”. In: Algebr. Represent. Theory 19.5 (2016), pp. 1173–1216. arXiv: 1503. 05447. url: https://doi.org/10.1007/s10468-016-9615-6.

[BGL]

Gabriella Böhm, José Gómez-Torrecillas, and Esperanza López-Centella. Weak multiplier bialgebras. arXiv: 1306.1466.

[BLa]

Gabriella Böhm and Stephen Lack. A simplicial approach to multiplier bimonoids. arXiv: 1512.01259.

[BLb]

Gabriella Böhm and Stephen Lack. Multiplier bialgebras in braided monoidal categories. arXiv: 1405.4668.

[BL17a]

Gabriella Böhm and Stephen Lack. “A category of multiplier bimonoids”. In: Appl. Categ. Structures 25.2 (2017), pp. 279–301. arXiv: 1509.07171. url: https://doi.org/10.1007/s10485-016-9429-z.

[BL17b]

Gabriella Böhm and Stephen Lack. “Multiplier Hopf monoids”. In: Algebr. Represent. Theory 20.1 (2017), pp. 1–46. arXiv: 1511 . 03806. url: https://doi.org/10.1007/s10468-016-9630-7.

[BM02]

Tomasz Brzeziński and Gigel Militaru. “Bialgebroids, \(\times _A\)-bialgebras and duality”. In: J. Algebra 251.1 (2002), pp. 279–294. url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.2001.9101.

[Bro63]

William Browder. “On differential Hopf algebras”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 107 (1963), pp. 153–176. url: https://doi.org/10.2307/1993874.

[Brz10]

Tomasz Brzeziński. “Hopf modules and the fundamental theorem for Hopf (co)quasigroups”. In: Int. Electron. J. Algebra 8 (2010), pp. 114–128. arXiv: 0912.3452.

[BTW]

Christian Blohmann, Xiang Tang, and Alan Weinstein. Hopfish structure and modules over irrational rotation algebras. arXiv: math/ 0604405.

[Buc+]

Mitchell Buckley, Timmy Fieremans, Christina Vasilakopoulou, and Joost Vercruysse. Oplax Hopf Algebras. arXiv: 1710.01465.

[BV07]

Alain Bruguières and Alexis Virelizier. “Hopf monads”. In: Adv. Math. 215.2 (2007), pp. 679–733. arXiv: math / 0604180. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2007.04.011.

[Dri87]

V. G. Drinfel\('\)d. “Quantum groups”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Berkeley, Calif., 1986). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1987, pp. 798–820.

[Dri89a]

V. G. Drinfel\('\)d. “Quasi-Hopf algebras”. In: Algebra i Analiz 1.6 (1989), pp. 114–148.

[Dri89b]

V. G. Drinfel\('\)d. “Quasi-Hopf algebras and Knizhnik-Zamolodchikov equations”. In: Problems of modern quantum field theory (Alushta, 1989). Res. Rep. Phys. Berlin: Springer, 1989, pp. 1–13.

[GG]

Adam Gal and Elena Gal. Symmetric self-adjoint Hopf categories and a categorical Heisenberg double. arXiv: 1406.3973.

[GL]

M. D. Gould and T. Lekatsas. Quasi-Hopf \(*\)-Algebras. arXiv: math/ 0604520.

[Kar08]

Gizem Karaali. “On Hopf algebras and their generalizations”. In: Comm. Algebra 36.12 (2008), pp. 4341–4367. arXiv: math/0703441. url: https://doi.org/10.1080/00927870802182424.

[KM10]

J. Klim and S. Majid. “Hopf quasigroups and the algebraic 7-sphere”. In: J. Algebra 323.11 (2010), pp. 3067–3110. arXiv: 0906.5026. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2010.03.011.

[Lod08]

Jean-Louis Loday. “Generalized bialgebras and triples of operads”. In: Astérisque 320 (2008), pp. x+116. arXiv: math/0611885.

[LP]

Muriel Livernet and Frederic Patras. Lie theory for Hopf operads. arXiv: math/0606329.

[LR04]

Jean-Louis Loday and Marı́a Ronco. “Trialgebras and families of polytopes”. In: Homotopy theory: relations with algebraic geometry, group cohomology, and algebraic \(K\)-theory. Vol. 346. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2004, pp. 369–398. arXiv: math/ 0205043. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/346/06296.

[MM65]

John W. Milnor and John C. Moore. “On the structure of Hopf algebras”. In: Ann. of Math. (2) 81 (1965), pp. 211–264. url: http://dx.doi.org/10.2307/1970615.

[Pfe07]

Hendryk Pfeiffer. “2-groups, trialgebras and their Hopf categories of representations”. In: Adv. Math. 212.1 (2007), pp. 62–108. arXiv: math/0411468. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.09.014.

[TWZ07]

Xiang Tang, Alan Weinstein, and Chenchang Zhu. “Hopfish algebras”. In: Pacific J. Math. 231.1 (2007), pp. 193–216. arXiv: math/0510421. url: http://dx.doi.org/10.2140/pjm.2007.231.193.

[Van94]

A. Van Daele. “Multiplier Hopf algebras”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 342.2 (1994), pp. 917–932. url: http://dx.doi.org/10.2307/2154659.