Partially Defined Algebraic Structures

演算が部分的にしか定義されていない代数的構造の内, 最も基本的なのは, partial monoid (partial semigroup) だろう。

• partial monoid

Partial monoid は, \(C^*\)-algebra に関連して, Burgstaller [Bur14] などによっても調べられている。そこでは, semimultiplicative set と呼ばれているが。[Bur09] では, partial monoid の \(C^*\)-algebra や equivariant \(KK\)-theory が考えられている。

ホモトピー論では, [Shi01; Tam13] など。 位相を持ったものであるが。

他にも, 様々な場面で異なる名前で登場する。例えば, Bessis の [Bes03] では pre-monoid という名前で呼ばれている。

更に弱めて, 積が部分的にしか定義されていない magma を, Jonsson [Jon] は partial magma と呼んでいる。関連して semigroupoid や poloid といった構造も調べている。

• partial magma
• semigroupoid
• poloid

他の partial monoid の一般化としては, Bianchi [Bia] が Hurwitz space の一般化のために導入した parially multiplicative quandle がある。名前の通り, quandle の一般化にもなっている。

• partially multiplicative quandle

Partial semigroup は, [DE18] や [Gho23] などで登場する。

• partial semigroup

Partial monoid で逆元を持つものは, partial group と呼ばれるが, あまり調べられていないようである。Chermak [Che22] で定義されたのが最初なのだろうか。

• partial group

Fusion system と関係あるため, ホモトピー論の人が中心になって調べているようである。 Broto と Gonzalez [BG] は, 拡大の理論を展開している。 Salati [Sal23] は, partial group の category での limit や colimit を調べている。

Díaz Ramos と Molinier と Viruel [RMV] は, どんな群も partial group の automorphism group として表せることを示している。 つまり, partial group の category は universal category である, ということである。

更に和を持つものを partial ring という。van den Berg と Heunen の [BH12; BH13] などで登場する。 Gillibert の [Gil14] では, partial algebra の圏について, 考えられている。

• partial ring and partial algebra

部分的に定義された作用も考えられている。 Exel [Exe94] は, \(C^*\)-algebra の文脈で, 群の partial action を考えている。 Hopf algebra の partial action は, Caenepeel と Jansen [CJ08] により定義された。 これらについては, Batista の survey [Bat17] がある。Dokuchaev の survey [Dok11; Dok19] もある。

• partial action or partial module or partial representation

当然, その双対である partial coaction や partial comodule も考えられている。

• partial coaction or partial comodule

Batista と Vercruysse [BV16] は, partial action と partial coaction の間の双対性を考えている。

彼等は, Hautekiet と共に [BHV] で体 \(k\) 上の Hopf algebra 上 の partial comodule の category が \(\lMod {k}\) 上 comonadic であることを示している。

Partial monoid の many-objectification として partial category, つまり morphism の合成が部分的にしか定義されていないものも, 色々考えられている。

• partial category

References

[Bat17]

Eliezer Batista. “Partial actions: what they are and why we care”. In: Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 24.1 (2017), pp. 35–71. arXiv: 1604.06393. url: https://doi.org/10.36045/bbms/1489888814.

[Bes03]

David Bessis. “The dual braid monoid”. In: Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 36.5 (2003), pp. 647–683. arXiv: math / 0101158. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.ansens.2003.01.001.

[BG]

Carles Broto and Alex Gonzalez. An extension theory for partial groups. arXiv: 2105.03457.

[BH12]

Benno van den Berg and Chris Heunen. “Noncommutativity as a colimit”. In: Appl. Categ. Structures 20.4 (2012), pp. 393–414. arXiv: 1003.3618. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-011-9246-3.

[BH13]

Benno van den Berg and Chris Heunen. “Erratum to: Noncommutativity as a colimit”. In: Appl. Categ. Structures 21.1 (2013), pp. 103–104. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-012-9298-z.

[BHV]

Eliezer Batista, William Hautekiet, and Joost Vercruysse. A comonadicity theorem for partial comodules. arXiv: 2205.08596.

[Bia]

Andrea Bianchi. Partially multiplicative quandles and simplicial Hurwitz spaces. arXiv: 2106.09425.

[Bur09]

Bernhard Burgstaller. “Equivariant \(KK\)-theory for semimultiplicative sets”. In: New York J. Math. 15 (2009), pp. 505–531. url: http://nyjm.albany.edu:8000/j/2009/15_505.html.

[Bur14]

Bernhard Burgstaller. “A descent homomorphism for semimultiplicative sets”. In: Rocky Mountain J. Math. 44.3 (2014), pp. 809–851. arXiv: 1111.4160. url: https://doi.org/10.1216/RMJ-2014-44-3-809.

[BV16]

Eliezer Batista and Joost Vercruysse. “Dual constructions for partial actions of Hopf algebras”. In: J. Pure Appl. Algebra 220.2 (2016), pp. 518–559. arXiv: 1403.1399. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2015.05.014.

[Che22]

Andrew Chermak. “Finite localities I”. In: Forum Math. Sigma 10 (2022), Paper No. e43. arXiv: 1505.07786. url: https://doi.org/10.1017/fms.2022.31.

[CJ08]

S. Caenepeel and K. Janssen. “Partial (co)actions of Hopf algebras and partial Hopf-Galois theory”. In: Comm. Algebra 36.8 (2008), pp. 2923–2946. arXiv: math/0610524. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927870802110334.

[DE18]

Igor Dolinka and James East. “Semigroups of rectangular matrices under a sandwich operation”. In: Semigroup Forum 96.2 (2018), pp. 253–300. arXiv: 1503.03139. url: https://doi.org/10.1007/s00233-017-9873-6.

[Dok11]

M. Dokuchaev. “Partial actions: a survey”. In: Groups, algebras and applications. Vol. 537. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2011, pp. 173–184. url: https://doi.org/10.1090/conm/537/10573.

[Dok19]

M. Dokuchaev. “Recent developments around partial actions”. In: São Paulo J. Math. Sci. 13.1 (2019), pp. 195–247. url: https://doi.org/10.1007/s40863-018-0087-y.

[Exe94]

Ruy Exel. “Circle actions on \(C^{*}\)-algebras, partial automorphisms, and a generalized Pimsner-Voiculescu exact sequence”. In: J. Funct. Anal. 122.2 (1994), pp. 361–401. arXiv: funct-an/9211001. url: http://dx.doi.org/10.1006/jfan.1994.1073.

[Gho23]

Arpita Ghosh. “A study on some combinatorial sets in partial semigroups”. In: Asian-Eur. J. Math. 16.2 (2023), Paper No. 2350028, 12. arXiv: 1901.01858. url: https://doi.org/10.1142/S1793557123500286.

[Gil14]

Pierre Gillibert. “Categories of partial algebras for critical points between varieties of algebras”. In: Algebra Universalis 71.4 (2014), pp. 299–357. arXiv: 1012.1949. url: https://doi.org/10.1007/s00012-014-0279-y.

[Jon]

Dan Jonsson. Poloids from the Points of View of Partial Transformations and Category Theory. arXiv: 1710.04634.

[RMV]

Antonio Díaz Ramos, Rémi Molinier, and Antonio Viruel. Path partial groups. arXiv: 2107.14084.

[Sal23]

Edoardo Salati. “Limits and colimits, generators and relations of partial groups”. In: J. Algebra 622 (2023), pp. 291–327. arXiv: 2109. 12410. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2023.01.014.

[Shi01]

Kazuhisa Shimakawa. “Configuration spaces with partially summable labels and homology theories”. In: Math. J. Okayama Univ. 43 (2001), pp. 43–72.

[Tam13]

Dai Tamaki. “Two-sided bar constructions for partial monoids and applications to \(K\)-homology theory”. In: Noncommutative geometry and physics. 3. Vol. 1. Keio COE Lect. Ser. Math. Sci. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2013, pp. 177–195. url: http://dx.doi.org/10.1142/9789814425018_0006.