Generalizations and Variations of DG Categories

DG category とは, chian complex の category で enrich された category のことである。 Chain complex の category の性質として, homotopy の概念があること, そして (co)homology が取れることがあるが, そのようなことができる category で enrich された category ならば, dg category と同様のことができそうである。

代数的トポロジーの視点からは, chain complex の homology が spectrum を用いた homology に一般化されたことを考えると, chain complex の category を spectrum の category に一般化したくなる。 そのようなものを spectral category と呼ぶ。

• spectral category

代数的には, chain complex の ホモロジー代数の一般化として, Khovanov による Hopfological algebra がある。 その視点からは, 有限次元 Hopf 代数 \(H\) 上の module category が dg category の一般化である。

Dg algebra の変種としては, 標数 \(p\) 上の graded algebra で 微分が \(d^p=0\) をみたす \(p\)-dg algebra というものがある。 Elias と Qi [EQ16] では, その many-objectification である \(p\)-dg category が登場する。

• \(p\)-dg category

Laugwitz と Miemietz の [LM20] では, その \(2\)-category 版が 考えられている。

• \(p\)-dg \(2\)-category

通常の dg category の \(2\)-category 版は, 同じく Laugwitz と Miemietz の [LMa] などで考えられている。

• dg \(2\)-category

Dg algebra の一般化として \(A_{\infty }\)-algebra があるが, その many objectification として \(A_{\infty }\)-category がある。

• \(A_{\infty }\)-category

通常の category の \((\infty ,1)\)-version としては, simplicial category, quasicategory, Segal category, complete Segal space などのモデルがある。

DG category \(\bm {A}\) に対し, その homotopy category を作るときの最初の段階として \(0\)-cycle の成す category \(Z_{0}(\bm {A})\) を作るが, Positselski [Pos] はその上に exact category の構造を考えることにより exact dg category の概念を導入した。 同じ論文で Abelian dg category も導入している。

• exact dg category
• Abelian dg category

この exact dg category という用語は, Xiaofa Chen の thesis [Ched] でも使われているが, そこにも書かれているように, Positselski のものとは別物である。Chen は, 一連の論文 [Chea; Cheb; Chec] で, 自身の exact dg category について調べている。

• Chen’s exact dg category

チェイン複体を simplicial set の線形化と考えると, dg category は simplicial category の線形化とみなすべきものであり, 他のモデルの dg 版があってしかるべきである。

実際, Gepner と Haugseng [GH15] や Lowen と Mertens [LMb] の仕事により, enriched category の概念は, quasicategory でも考えることができるので, dg quasicategory や linear quasicategory などを考えることもできる。 Segal category の enriched version は Bacard [Bac; Bac20] により考えられている。

Segal space の dg 版は, 最近になって Dimitriadis Bermejo の thesis [Dima; Dimb] で定義された。

dg algebra に対しては curved 版があるが, dg category に対しても curved dg category を考えることができる。Polishchuk と Positselski の [PP12] など。

• curved dg category

References

[Bac]

Hugo V. Bacard. Segal Enriched Categories I. arXiv: 1009.3673.

[Bac20]

Hugo V. Bacard. “Segal enriched categories and applications”. In: Theory Appl. Categ. 35 (2020), Paper No. 33, 1227–1267.

[Chea]

Xiaofa Chen. 0-Auslander correspondence. arXiv: 2306.15958.

[Cheb]

Xiaofa Chen. Auslander–Iyama correspondence for exact dg categories. arXiv: 2308.08519.

[Chec]

Xiaofa Chen. Iyama-Solberg correspondence for exact dg categories. arXiv: 2401.02064.

[Ched]

Xiaofa Chen. On exact dg categories. arXiv: 2306.08231.

[Dima]

Elena Dimitriadis Bermejo. A new model for dg-categories. arXiv: 2302.00430.

[Dimb]

Elena Dimitriadis Bermejo. A new model of dg-categories. arXiv: 2308.06417.

[EQ16]

Ben Elias and You Qi. “An approach to categorification of some small quantum groups II”. In: Adv. Math. 288 (2016), pp. 81–151. arXiv: 1302.5478. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2015.10.009.

[GH15]

David Gepner and Rune Haugseng. “Enriched \(\infty \)-categories via non-symmetric \(\infty \)-operads”. In: Adv. Math. 279 (2015), pp. 575–716. arXiv: 1312.3178. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2015.02.007.

[LMa]

Robert Laugwitz and Vanessa Miemietz. Pretriangulated 2-representations via dg algebra 1-morphisms. arXiv: 2205.09999.

[LMb]

Wendy Lowen and Arne Mertens. Enriched quasi-categories and the templicial homotopy coherent nerve. arXiv: 2302.02484.

[LM20]

Robert Laugwitz and Vanessa Miemietz. “Cell 2-representations and categorification at prime roots of unity”. In: Adv. Math. 361 (2020), pp. 106937, 66. arXiv: 1706.07725. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2019.106937.

[Pos]

Leonid Positselski. Exact DG-categories and fully faithful triangulated inclusion functors. arXiv: 2110.08237.

[PP12]

Alexander Polishchuk and Leonid Positselski. “Hochschild (co)homology of the second kind I”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 364.10 (2012), pp. 5311–5368. arXiv: 1010.0982. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-2012-05667-4.