Reedy category とその一般化

ある圏 \(\bm{C}\) が モデル構造を持つときに, その圏での simplicial object や cosimplicial object の圏にモデル構造を持ってくることができる。これは, Reedy が有名な未出版の論文で考えたことである。Reedy の preprint は Hirschorn のホームページから download できる。

Reedy の議論は, simplicial object だけでなく, \(\Delta \) と同じような性質を持つ small category \(R\) からの関手のなす圏 \(\category{Funct}(R,\bm{C})\) でも適用できるため, その性質を抽象化して Reedy category という概念が定義された。

  • Reedy category

Reedy category の基本的なことについては, Riehl と Verity の [RV14] を見るとよいと思う。ただ, この ShulmanのMathOverflowでの質問 (とその解答) によると, 定義には微妙に異なるものが2種類あるようで, 気をつけた方がよい。

例としては, \(\Delta \) 以外には, finite poset が基本的である。 そして opposite や product を取る操作でも閉じている。

Reedy category を定義域に持つ関手の圏のモデル構造については, 詳細は [Hov99] や [Hir03] や [Dwy+04] などのモデル圏の教科書にある。

Reedy category の間の functor としては, 当然その構造を保つものを考えるべきである。Hirschhorn と Volić [HV] は, そのようなものを Reedy functor と呼んでいる。彼等の目的は, model category \(\bm{M}\) が与えられたとき, 2つのReedy category \(C\) と \(D\) の間のReedy functor \(f:C\to D\) から誘導された functor \(f^*: M^{D}\to M^{C}\) が left あるいは right Quillen functor にな る条件を求めることである。そのような条件として fibering と cofibering という条件を導入している。

  • Reedy functor
  • fibering Reedy functor と cofibering Reedy functor

Reedy category の一般化としては, まず Angeltveit の enriched version [Ang08] がある。Berger と Moerdijk は, [BM] で dendroidal setcyclic set などにも適用できる拡張を考えてい る。Bergner と Rezk [BR] は, sub-multicategory を用いた multi-Reedy category の概念を用いている。

  • enriched Reedy category
  • Berger と Moerdijk の generalized Reedy category
  • multi-Reedy category

Shulman [Shu] は, functor の bigluing という操作に基づいた Reedy model structure を特徴付けることを考えて, それにより Reedy category の一般化が考えられると言っている。

Generalized Reedy category の中で Eilenberg-Zilber category という class を Berger ら [BM; MN] が定義している。Hackney ら[HRY]は, 彼等の up to homotopy properad の研究で出てくる graphical category が Eilenberg-Zilber category であることを示している。

  • Eilenberg-Zilber category

References

[Ang08]

Vigleik Angeltveit. “Enriched Reedy categories”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 136.7 (2008), pp. 2323–2332. arXiv: math/0612137. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-08-09185-5.

[BM]

Clemens Berger and Ieke Moerdijk. On an extension of the notion of Reedy category. arXiv: 0809.3341.

[BR]

Julia E. Bergner and Charles Rezk. Reedy categories and the \(\theta \)-construction. arXiv: 1110.1066.

[Dwy+04]

William G. Dwyer, Philip S. Hirschhorn, Daniel M. Kan, and Jeffrey H. Smith. Homotopy limit functors on model categories and homotopical categories. Vol. 113. Mathematical Surveys and Monographs. Providence, RI: American Mathematical Society, 2004, pp. viii+181. isbn: 0-8218-3703-6.

[Hir03]

Philip S. Hirschhorn. Model categories and their localizations. Vol. 99. Mathematical Surveys and Monographs. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003, pp. xvi+457. isbn: 0-8218-3279-4.

[Hov99]

Mark Hovey. Model categories. Vol. 63. Mathematical Surveys and Monographs. Providence, RI: American Mathematical Society, 1999, p. xii 209. isbn: 0-8218-1359-5.

[HRY]

Philip Hackney, Marcy Robertson, and Donald Yau. On factorizations of graphical maps. arXiv: 1705.08546.

[HV]

Philip S. Hirschhorn and Ismar Volic. Functors between Reedy model categories of diagrams. arXiv: 1511.04809.

[MN]

Ieke Moerdijk and Joost Nuiten. Minimal fibrations of dendroidal sets. arXiv: 1509.01073.

[RV14]

Emily Riehl and Dominic Verity. “The theory and practice of Reedy categories”. In: Theory Appl. Categ. 29 (2014), pp. 256–301. arXiv: 1304.6871.

[Shu]

Michael Shulman. Reedy categories and their generalizations. arXiv: 1507.01065.