代数的構造を記述するための operad

代数的トポロジーで, iterated loop space などの複雑な構造を記述するために導入された operad の概念は, 代数的構造を記述するのにも有効である。つまり, 様々な代数的構造を operad 上の algebra として記述することができる。

• operad 上の algebra
• operad 上の algebra 上の module

この手の代数的構造については, Zinbiel の [Zin12] にまとめられている。代数的な operad については, 解説もいくつか出てきた。 Loday と Vallette の [LV12] や Fresse の [Fre09] など。

基本的な例として, 代数の結合性や可換性の operad による記述がある。

• associative operad \(\mathcal{A}s\)
• 可換環 \(k\) 上の module \(A\) に \(\mathcal{A}s\) が作用することと, \(A\) が \(k\) 上 associative algebra であることは同値である。
• commutative operad \(\mathcal{C}om\)
• 可換環 \(k\) 上の module \(A\) に \(\mathcal{C}om\) が作用することと \(A\) が \(k\) 上の commutative algebra であることは同値である。
• operad \(\mathcal{L}ie\)
• 可換環 \(k\) 上の module \(A\) に \(\mathcal{L}ie\) が作用することと, \(A\) が \(k\) 上の Lie algebra であることは同値である。

Associative operad は 対称群の group algebra の列 \(\{k[\Sigma _n]\}_{n\ge 0}\) から成る。 対称群の持つ様々な性質との関連を考えるのは自然な問題である。Aguiar と Livernet は [AL07] で weak Bruhat order との関連を調べている。

これらを “homotopic” にすると以下の概念を得る。

• operad \(\mathcal{A}s_{\infty }\)
• operad \(\mathcal{C}om_{\infty }\)
• operad \(\mathcal{L}ie_{\infty }\)

これらの上の algebra として次のような構造がある。

• \(A_{\infty }\)-algebra や \(A_{\infty }\)-category
• \(E_{\infty }\)-algebra
• \(L_{\infty }\)-algebra

より一般に, Koszul dual を用いると operad \(\mathcal{P}\) に対し, その homotopy 版 \(\mathcal{P}_{\infty }\) を定義することができる。

• operad の Koszul dual と Koszul operad [GK94]

Koszul という性質は, 代数的な operad を考える際には重要な性質である。 例えば, 集合の圏の operad に対しては, partition type poset が作れるが, そのホモロジーが最高次元に集中しているための必要十分条件は, その operad からできる代数的な operad が Koszul であることである。 これは Vallete により [Val07] で証明されたことである。

Operad の Koszul duality については, 例えば Loday と Vallette の本 [LV12] の Chapter 7 にある。また, operad \(\mathcal{P}\) 上の algebra の homology と Koszul dual との関係については, Chapter 12に書かれている。

• \(\mathcal{P}\)-algebra \(A\) のhomology \(H_*^{\mathcal{P}}(A)\) はその Koszul dual \(\mathcal{P}^{!}\) 上の coalgebra の構造を持つ。

他にも, 様々な代数的構造が operad で記述できる。例えば, 2つの compatible な積を持つ algebra については, Strohmayer の [Str] がある。Derivation を持つ associative algebra については, Loday の [Lod10] で考えられている。八元数のような alternative algebra に対応する operad も考えられている。 ([DZ11; DZ12]) ただ, Loday は operad に関する問題のリスト [Lod12] の中で, その operad は Koszul でないのでよくないと言っていて, 八元数体 を Koszul operad 上の algebra として表すという問題を提示している。

代数的なoperadについては, 群や環などに関する既存の概念が, 様々な形で拡張され, 定義されている。

• Morita同値 [KM01]
• cyclic quadratic Koszul operad の homotopy inner product [LT08]
• 半直積 [Kau05]
• bi-crossed product [Kau05]
• operad 上の coalgebra [Smi]
• operad 上の bialgebra [Yal]

Spectral sequence への operad の作用を考えることもできる。K. Bauer と Scull の [BS] である。

これらを扱う分野を一言で homotopy algebra と言うこともある。

• homotopy algebra

Operad 上の algebra 上の module を, 複素多様体上の Kähler differential の成 す module の一般化とみなし, 複素多様体の幾何に対応する概念を定義する, という試み [Nie] もある。

代数的な operad に対しては, もちろんホモロジー代数もできる。 例えば, Hochschild homology の類似を作ることもできる。

• operad 上の algebra に対する (co)homology

数理物理学に現れる代数的構造も operad を用いると見通しがよくなることが多い。

• Batalin-Vilkovisky algebra
• vertex operator algebra
• conformal field theory

Kontsevich は, [Kon93; Kon94] で, \(\mathcal{A}s_{\infty }\), \(\mathcal{C}om_{\infty }\), \(\mathcal{L}ie_{\infty }\) の3つの operad から無限次元の Lie algebra を構成している。それらの homology は, 自由群の outer automorphism の cohomology やその他の, 低次元多様体の不変量を調べるのに有用であることが分っている。

• Kontsevich の graph complex

その構成は, Getzler と Kapranov [GK98] や Markl [Mar99] により cyclic operad に一般化されている。 その後, この構成は Conant と Vogtmann [CV03a; CV03b] により詳しく調べられている。

Loday は, diassociative algebra の (co)homology を調べる過程 [Lod01] で, いくつかの代数的な operad を導入している。

• Dias (diassociative algebra の構造を表わす operad)
• Dend (dendriform algebra の構造を表わすoperad)

Kravchenko と Polyak の [KP11] によると, diassociative algebra の構造は, 低次元トポロジーでも現れるようである。

有理数係数の多変数有理関数列の成す vector space 上で定義された mould operad という operad がある。Chapoton により [Cha07] で定義された。この operad は anticyclic operad であり, dendriform operad を anticyclic suboperad として含むことが示されている。

Borisov と Manin は [BM08] で代数的な operad の圏に internal cohomomorphism object を構成している。その motivation は noncommutative geometry における変換群にあるようである。

Gröbner basis を使うことを考えている人もいる。Dotsenko らの [DK10; DV] である。

別の方向での関係として, 集合の圏での operad から Hopf algebra を作るというものものある。 Méndez と Liendo の [ML14] によると, left cancellation law をみたす operad に対し Méndez の1989年の論文で構成されたのが最初のようである。 集合の圏での operad は, species の圏での monoid object であり, どちらかというと代数というより 組合せ論的な構造との関連であるが。 他に, operad と Hopf algebra の関係としては, van der Laan の thesis に書かれているものや, Chapoton と Livernet の [CL07], Bultel と Giraudo の [BG] などがある。

組み合せ論との関連では, Chapoton と Giraudo の [CG14] もある。

別の方向としては, 様々な Thompson-type group が operad を用いることで統一的に扱える, と Thumann [Thu] が主張している。

References

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