Homotopy Quantum Field Theories

Homotopy quantum field theory (HQFT) とは, Turaev の [Tura] で導入された topological field theory である。

多様体から固定したある background space への写像の cobordism category を定義域とするもので, どちらかというと fiberwise quantum field theory と言った方が良さそうであるが, その写像の homotopy 類を考えているので homotopy と付いているようである。

文献としては, Turaev の original [Tura; Turb], Rodrigues の論文 [Rod03], そして Brightwell と Turner の論文 [BT00; BT03; BTW03] などがある。Turaev の本 [Tur10a] も出た。 Rodrigues の論文の Appendix には, HQFT の定義域となるべき写像の cobordism category の定義が詳しく書かれている。

Porter らは [PT08; Por07] で \(d=1\) の HQFT を分類しようとして simplicial formal map などの概念を導入している。

Turaev [Tur10b] は, compact oriented surface 上の Serre fibration の section の存在などに使えることを発見している。

Target space が 群の分類空間の場合は, equivariant topological quantum field theory と呼ばれるものになっているようである。

• equivariant topological quantum field theory

Extended version が Schweigert と Woike [SW] により導入されている。

References

[BT00]

Mark Brightwell and Paul Turner. “Representations of the homotopy surface category of a simply connected space”. In: J. Knot Theory Ramifications 9.7 (2000), pp. 855–864. arXiv: math/9910026. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0218216500000487.

[BT03]

Mark Brightwell and Paul Turner. “Modular functors in homotopy quantum field theory and tortile structures”. In: J. Pure Appl. Algebra 185.1-3 (2003), pp. 43–71. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(03)00107-5.

[BTW03]

Mark Brightwell, Paul Turner, and Simon Willerton. “Homotopy quantum field theories and related ideas”. In: Internat. J. Modern Phys. A 18.October, suppl. (2003), pp. 115–122. arXiv: math/0202066. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0217751X03017993.

[Por07]

Timothy Porter. “Formal homotopy quantum field theories. II. Simplicial formal maps”. In: Categories in algebra, geometry and mathematical physics. Vol. 431. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 375–403. arXiv: math/0512034. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/431/08281.

[PT08]

Timothy Porter and Vladimir Turaev. “Formal homotopy quantum field theories. I. Formal maps and crossed \(\mathcal{C}\)-algebras”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 3.1 (2008), pp. 113–159. arXiv: math/0512032.

[Rod03]

Gonçalo Rodrigues. “Homotopy quantum field theories and the homotopy cobordism category in dimension \(1+1\)”. In: J. Knot Theory Ramifications 12.3 (2003), pp. 287–319. arXiv: math/0105018. url: https://doi.org/10.1142/S0218216503002548.

[SW]

Christoph Schweigert and Lukas Woike. Extended Homotopy Quantum Field Theories and their Orbifoldization. arXiv: 1802.08512.

[Tura]

Vladimir Turaev. Homotopy field theory in dimension 2 and group-algebras. arXiv: math/9910010.

[Turb]

Vladimir Turaev. Homotopy field theory in dimension 3 and crossed group-categories. arXiv: math/0005291.

[Tur10a]

Vladimir Turaev. Homotopy quantum field theory. Vol. 10. EMS Tracts in Mathematics. Appendix 5 by Michael Müger and Appendices 6 and 7 by Alexis Virelizier. European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2010, pp. xiv+276. isbn: 978-3-03719-086-9. url: http://dx.doi.org/10.4171/086.

[Tur10b]

Vladimir Turaev. “Sections of fiber bundles over surfaces and TQFTs”. In: Quantum Topol. 1.3 (2010), pp. 275–319. arXiv: 0904.2692. url: http://dx.doi.org/10.4171/QT/7.