Coalgebra とその上の comodule

名前からも分かるように, algebra の dual が coalgebra である。Coalgebra については, Brzeziński と Wisbauer の本 [BW03] がある。その一般化である coring に関する本であるが, 第1章で coalgebra について詳しく解説している。 Hopf algebra に関する文献も, coalgebra に関することを含んでいるのが普通である。例えば, Milnor と Moore の [MM65] にも coalgebra のことは書いてある。 ただ, monoidal category での comonoid object として理解しておく方が, 良いと思う。

  • \(k\)-module の category での comonoid object としての coalgebra
  • coalgebra 上の left comodule と right comodule

Algebra \(A\)の上のright module \(M\)と left module \(N\) が与えられると, tensor product \(M\otimes _{A}N\) が, coequalizer として定義できるが, 同様に right comodule と left comodule の cotensor product が, equalizer として定義できる。

  • coalgebra \(C\) 上の right comodule \(M\) と left comodule \(N\) に対し, その cotensor product \(M\Box _{C} N\)
  • cotensor product の derived functor としての \(\mathrm {Cotor}\)

\(\mathrm {Cotor}\) は, Eilenberg と Moore の [EM64]で最初に登場したのではないかと思う。 より有名な文献は [EM65; EM66] だと思うが。 これらの Eilenberg と Moore の論文では, もう1つ contramodule というものも定義されている。そして contramodule に対しては, \(\mathrm {Cohom}\) とその derived functor の \(\mathrm {Coext}\) が定義される。

可換環 \(k\) 上の coalgebra は, \(k\)-module の成す symmetric monoidal category での comonoid object であるが, 他の monoidal category での comonoid object を考えることも行なわれている。例えば, Brzeziński と Wisbauer の本 [BW03] は, (可換とは限らない) algebra \(A\) 上の bimodule の成す monoidal category での comonoid object を扱っている。

位相空間の圏ような, monoidal structure が product で与えられている場合は, 任意の comonoid は cocommutative になる。 Péroux と Shipley [PS19] によると, 現代的な spectrum の圏でも 任意の comonoid は必ず cocommutative になるようで, 興味深い。 ただ, Lurie による spectrum の \(\infty \)-category では noncocommutative な comonoid が存在するようであるが。

Algebra に対しては, Hochschild (co)homology が定義されるが, 当然その構成の dual を考えることもできる。 最初に考えたのは, Cartier [Car56] だろうか。Saneblidze の [San09] では, Cartier homology と呼ばれている。Hess らの [HPS09] によると, Doi の [Doi81] でも同様のものが考えられているようである。

Coalgebra や comodule が現われる例として Cohen と Montgomery の [CM84] は興味深い。群による grading が, そのgroup ring の coalgebra 上の comodule の構造とうまく対応している。これは, 自然に small category による grading に一般化 [Tam] できる。Small enriched category も, bicomodule の言葉で定義するのが自然である。

代数的な構造から定義される coalgebra としては, Sweedler の measuring coalgebra がある。

  • \(k\)-algebra \(A\) と \(B\) に対し, measuring coalgebra \(P(A,B)\to \mathrm {Hom}_k(A,B)\)

導入されたのは, Sweedler の [Swe69] であるが, その後 Batchelor [Bat00] によって調べられている。基本的なことは, まずは Batchelor と Thomas の [BT] の Appendix を見てみるとよい。興味深いのは, algebra の category が measuring coalgebra を使って, coalgebra のcategory で enrichされることである。

  • coalgebra で enrich された algebra の category

Measuring coalgebra の一般化も色々考えられている。例えば, Batchelor の [Bat00], Vasilakopoulou の [Vas], Hyland, López Franco, Vasilakopoulou の [HLV17], Banerjee と Kour の [BK22], López Franco と Vasilakopoulou の [FV], Péroux の [Pér22] など。

また, Agore と Militaru [AM20] によると dual version は Tambara [Tam90] により導入されたようである。

Coalgebra や bialgebra の category での limit や colimit については, Agore の [Ago11a; Ago11b] が, comodule の category での limit や colimit については, Lyubinin [Lyu] がある。

Tensor algebra の dual construction である cotensor algebra の構成は, module の圏では, Nichols [Nic78] が, 一般のAbelian monoidal category では, Ardizzoni と Menini と Stefan [AMŞ07] が考えている。

量子群に対しては, compact という概念が考えられるが, Abella, Ferrer Santos, Haim の [ASH09] のアプローチを用いれば, \(\bbC \) 上の coalgebra に対して compact 性が考えられる。

  • compact \(\circ \)-coalgebra

ややこしいことに, category theory の人は, comodule のことを coalgebra と呼んだりするようである。Leinster の [Lei11] や Karazeris と Matzaris と Velebil の [KMV11] など。 後者の論文の中で考えられている final coalgebra と Ardizzoni と Menini と Stefan の cotensor coalgebra の関係はどうなっているのだろう。

Chain complex の成す symmetric monoidal category での comonoid object は, differential graded coalgebra と呼ばれる。 代数的トポロジーではよく登場する。

Dold-Kan correspondence により, dg module と simplicial module が対応するので, dg coalgebra と同じぐらい simplicial coalgebra が使われていても不思議ではないが, simplicial coalgebra は, それほど目にする機会がないように思う。 最近では Rivera ら [RWZ22] が空間の代数的モデルに使うことを提案している。 また, [RR] では, 単体的集合から生成された simplicial coalgebra のホモトピー論を調べている。

  • simplicial coalgebra

Algebra の bar construction の dual として coalgebra に対する cobar construction が定義できる。もちろん, dg coalgebra に対してもその構成を拡張できる。

Adams の [Ada56] が最初に cobar construction について書かれた文献だろうか。ただ, Adams によると, 同じ構成は独立に H. Cartan によって考えられていて, “cobar” という名前も Cartan によるらしい。

Kadeishvili [Kad05] は, dg bialgebra の cobar construction が homotopy Gerstenhaber algebra の構造を持つことを示している。

References

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