Constructions of Small Categories

Small category を, 群のように生成元と関係式で表すとき, 生成元になるのは quiver である。

• free category or path category generated by a quiver

既存の small category から新しい small category を構成する方法も色々ある。まず small category の category は complete かつ cocomplete である。

• product of small categories
• coproduct of small categories
• limit of diagram of small categories
• colimit of diagram of small categories

Small category から small categoy の category への functor, つまり small category で index された small category の図式が与えられたとき, それらを合せて一つの small category にすることができる。 Grothendieck construction という。

• Grothendieck construction

Functor から small category を作る方法として comma category も重要である。

• comma category

圏論的構成としては, span や cospan も良く使う。

• span and cospan

Small category の category は \(2\)-category の構造を持つ。つまり, \(2\)つの small category の間の functor 全体は category になる。

• functor category

ある small category \(C\) の morphism を object とする category \(\mathrm {Mor}(C)\) を構成することもできる。

• arrow category or category of morphisms

Morphism の集合は, twisted arrow category あるいは Segal subdivision あるいは edgewise subdivision と呼ばれる構成で category にすることもできる。 Small category の細分としては, 重心細分も重要である。

• subdivision of small category