Quasi-bialgebra や quasi-Hopf algebra

Quasi-bialgebra とは, bialgebra での coproduct の coassociativity の条件を, \(3\)-cycle により少し緩めたものであり, Drinfel\('\)d [Dri89] により定義された。Antipode を持つものが, quasi-Hopf algebra である。

• quasi-bialgebra
• quasi-Hopf algebra

Algebra を object \(1\)つの linear category とみなすと, bialgebra は coproduct を持つ linear category であり, quasi-bialgebra の条件の \(3\)-cycle は natural transformation に対応する。よってhigher category の言葉を使って考えるべきだろう。

Karaali の [Kar08] によると, Drinfel\('\)d の動機は, Kohno [Koh87] の Knizhnik-Zamolodchikov connection の monodromy と quantum group から得られる braid群の表現を関係付ける定理の, 自然な証明を与えることだったようである。

更に cocommutativity を natural transformation を使って弱めることもできる。

• quasitriangular quasi-Hopf algebra [Dri90]

これに関連して, Drinfel\('\)d は grouplike universal associator の成す集合を考えた。

• Drinfel\('\)d associator と Grothendieck-Teichmüller group

これらは, 数論 [Fur11], low dimensional topology [Bar97; Bar98; LM96], Lie theory [EK96], geometric quantization [TT00] などに関係があって興味深い。

もちろん, coproduct を strict に coassociative にし, product に関する条件を弱めることもできる。そのようなものを dual quasi-Hopf algebra や Majid algebra と呼ぶ。

• dual quasi-Hopf algebra あるいは Majid algebra

Quasi-Hopf algebra に対しては, Hopf algebra に対する様々な構成が一般化できる。Majid [Maj98] は, Drinfel\('\)d double を quasi-Hopf algebra に一般化した。また Tannaka-Krein duality の quasi-Hopf algebra への拡張も[Maj92] で考えている。

Frobenius-Schur indicator の quasi-Hopf algebra への拡張は, Linchenko と Montgomery [MN05] により定義されている。

Quasi-Hopf algebra が良い Hopf algebra の一般化である理由の一つは, その表現の category が良い monoidal category になるからである。

有限次元の quasi-Hopf algebra については, Etingof らが調べている。 [EO04; EG04; Gel05; EG05] など。

Albuquerque と Majid [AM99] は, 八元数や, より一般の Cayley-Dickson algebra を quasi-Hopf algebra を用いて構成することを考えている。

Quasi-bialgebra や quasi-Hopf algebra の条件を更に弱めることも考えられている。

• weak quasi-Hopf algebra ([MS92] や [Vec94])

References

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