Braided monoidal category

Symmetric monoidal category \((\bm{C},\otimes )\) では, 自然な同型 \[ c : X\otimes Y \rarrow{\cong } Y\otimes X \] があり, \(c\circ c = 1\) をみたす。

つまり, 成分を入れ替える functor \[ t : \bm{C}\times \bm{C} \longrightarrow \bm{C}\times \bm{C} \] と \(\otimes \) の合成と \(\otimes \) の間の natural transformation \[ c : \otimes \longrightarrow \otimes \circ t \] があり, \(c\circ c = 1\) を含めたある条件をみたす。この \(c\circ c = 1\) 以外の条件をみたすものを braided monoidal category という。Joyal と Street により [JS93] で定義された。 対称群を互換 \((i,i+1)\) で生成された群と考えたときに, その関係式から \((i,i+1)^{2}=1\) という関係式を取り除いてできる群が braid group であることから braided monoidal category という名前が付いているのだ, と思う。

coboundary category も合わせた解説として Savage の [Sav] がある。 基本的なことを知るには, Etingof らの tensor category に関する本 [Eti+15] の Chapter 8 を読むのがよいかもしれない。

• monoidal category における braiding の定義
• braided monoidal category は object \(1\)つ, \(1\)-morphism \(1\)つの \(3\)-category である。

Etingof らの本の §8.24 は braided \(G\)-crossed category に関するものであるが, Jones, Penneys, Reutter の [JPR] では, object \(1\)つ, \(1\)-morphism が群 \(G\) になっている \(3\)-category が, braided \(G\)-crossed category であることが示されている。

• braided \(G\)-crossed category あるいは \(G\)-crossed braided category

Braided monoidal category, あるいは braided tensor category は, 量子群の表現などでよく使われる。 関連して数理物理などでも使われているようである。 Zhang の本 [Zha] が arXiv から入手できるが, ここには braided tensor category での Hopf algebra について色々書いてある。

この手の braided monoidal category の中には, Drinfel\('\)d center を取ることにより monoidal category から得られたものもある。

• monoidal category の Drinfel\('\)d center は braided monoidal category

例えば, Agore と Caenepeel と Militaru の [ACM] に書かれているように, \(k\)-algebra \(A\) 上の noncommutative descent data の成す braided monoidal category は \(A\)-\(A\)-bimodule の成す monoidal category の center である。この category は他の記述もあることは, 彼らの[ACM12] に書かれている。

\(k\)-linear rigid monoidal Abelian category で, ある有限性の条件をみたすものを fusion category と呼ぶが, Drinfel\('\)d と Gelaki と Nikshych と Ostrik [Dri+10] は, braided monoidal category になっている fusion category, つまり braided fusion category の理論を構築しようとしている。

• braided fusion category

Joyal と Kock は, [JK07] で, braided monoidal category は strict monoidal \(2\)-category の weak unit の endomorphism category として現われることを示している。

Small braided monoidal category は, \(2\)重ループ空間と深い関係にある。 これは, monoidal category と\(1\)重ループ空間の関係の類似である。

• small braided monoidal category の nerve の group completion は\(2\)重ループ空間になる

これは, Fiedorowicz の未出版の論文 “The symmetric bar construction” で証明されている。 Fiedorowicz のホームページから PostScript ファイルが download できる。 それによると, このことに最初に気づいたのは Stasheff らしいが。

Braid群 をより一般の Coxeter群に付随する Artin群に変えたものも定義されている。 Appel と Toredano Laredo [AT19] による。

• braided Coxeter category

Vertex operator algebra などの複雑な代数的対象の上の module 達の tensor product の理論を考える際には, braiding よりも複雑な構造が必要になる。 そこで Huang と Lepowsky は, [HL94] で vertex tensor category という概念を定義している。そこには, vertex tensor category から braided tensor category の構造を読み取るにはどうすればよいかも書いてある。

• vertex tensor category
• vertex tensor category の構造から braided tensor category を与える tensor product を作ることができる

Braiding に少し条件を付け, symmetric monoidal category に近づけたものを考えることもある。また braided monoidal category に更に構造を入れることにより symmetric monoidal category との中間を考えることもある。

Panaite と Staic と van Oystaeyen は [PSV10] で pseudosymmetric braided monoidal category を定義した。Braided monoidal category と symmetric monoidal category の間に位置するものであり, braid群 を pure braid group の交換子群で割った群に対応する。Etingof と Gelaki は, [EG08] で quasisymmetric tensor category というものを定義している。

• pseudosymmetric braided monoidal category
• quasisymmetric tensor category

Panaite と Staic と van Oystaeyen の pseudosymmetric braided monoidal category は, Hopf algebra の研究の中で現われた twine などの categorical structure を扱うために導入されたようである。 Panaite と Staic と van Oystaeyen の論文では, twine の他にも様々な monoidal category の上の “braiding” が考えられている。

• twine
• strong twine
• pure-braiding
• double braiding
• laycle (lazy cocycle)

Joyal と Street [JS93] は, braided monoidal category に twisting という構造を追加することを考えた。そのような構造を持つものを balanced monoidal category と呼んでいる。これも braided monoidal category と symmetric monoidal category の中間に位置するものと考えられる。更に, duality を持つものを tortile monoidal category と呼んでいる。

• balanced monoidal category
• tortile monoidal category [Shu94]

Lyubashenko の [Lyu95] のように, tortile monoidal category は ribbon category と呼ばれることも多い。

Joyal と Street と Verity [JSV96] は, balanced monoidal category での trace を考え traced monoidal category の概念を得た。

• traced monoidal category

Half-balanced structure を考えている人 [Enr] もいる。 Grothendieck-Teichmüller group などに関係したことが motivation のようである。

一般化としては, Davydov と Runkel [DR15] の b-category というものもある。

• b-category

References

[ACM]

A. L. Agore, S. Caenepeel, and G. Militaru. The uniqueness of braidings on the monoidal category of non-commutative descent data. arXiv: 1210.8052.

[ACM12]

A. L. Agore, S. Caenepeel, and G. Militaru. “The center of the category of bimodules and descent data for noncommutative rings”. In: J. Algebra Appl. 11.6 (2012), pp. 1250102, 17. arXiv: 1108.3176. url: https://doi.org/10.1142/S0219498812501022.

[AT19]

Andrea Appel and Valerio Toledano Laredo. “Coxeter categories and quantum groups”. In: Selecta Math. (N.S.) 25.3 (2019), Art. 44, 97. arXiv: 1610.09741. url: https://doi.org/10.1007/s00029-019-0490-y.

[DR15]

Alexei Davydov and Ingo Runkel. “An alternative description of braided monoidal categories”. In: Appl. Categ. Structures 23.3 (2015), pp. 279–309. arXiv: 1307.5969. url: https://doi.org/10.1007/s10485-013-9338-3.

[Dri+10]

Vladimir Drinfeld, Shlomo Gelaki, Dmitri Nikshych, and Victor Ostrik. “On braided fusion categories. I”. In: Selecta Math. (N.S.) 16.1 (2010), pp. 1–119. arXiv: 0906.0620. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00029-010-0017-z.

[EG08]

Pavel Etingof and Shlomo Gelaki. “Quasisymmetric and unipotent tensor categories”. In: Math. Res. Lett. 15.5 (2008), pp. 857–866. arXiv: 0708.1487.

[Enr]

Benjamin Enriquez. Half-balanced braided monoidal categories and Teichmueller groupoids in genus zero. arXiv: 1009.2652.

[Eti+15]

Pavel Etingof, Shlomo Gelaki, Dmitri Nikshych, and Victor Ostrik. Tensor categories. Vol. 205. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 2015, pp. xvi+343. isbn: 978-1-4704-2024-6.

[HL94]

Yi-Zhi Huang and James Lepowsky. “Tensor products of modules for a vertex operator algebra and vertex tensor categories”. In: Lie theory and geometry. Vol. 123. Progr. Math. Boston, MA: Birkhäuser Boston, 1994, pp. 349–383. arXiv: hep-th/9401119.

[JK07]

André Joyal and Joachim Kock. “Weak units and homotopy 3-types”. In: Categories in algebra, geometry and mathematical physics. Vol. 431. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 257–276. arXiv: math/0602084.

[JPR]

Corey Jones, David Penneys, and David Reutter. A \(3\)-categorical perspective on \(G\)-crossed braided categories. arXiv: 2009.00405.

[JS93]

André Joyal and Ross Street. “Braided tensor categories”. In: Adv. Math. 102.1 (1993), pp. 20–78. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1993.1055.

[JSV96]

André Joyal, Ross Street, and Dominic Verity. “Traced monoidal categories”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 119.3 (1996), pp. 447–468. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004100074338.

[Lyu95]

Volodimir Lyubashenko. “Modular properties of ribbon abelian categories”. In: Proceedings of the 2nd Gauss Symposium. Conference A: Mathematics and Theoretical Physics (Munich, 1993). Sympos. Gaussiana. Berlin: de Gruyter, 1995, pp. 529–579. arXiv: hep-th/9405168.

[PSV10]

Florin Panaite, Mihai D. Staic, and Freddy Van Oystaeyen. “Pseudosymmetric braidings, twines and twisted algebras”. In: J. Pure Appl. Algebra 214.6 (2010), pp. 867–884. arXiv: 0801.2055. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2009.08.008.

[Sav]

Alistair Savage. Braided and coboundary monoidal categories. arXiv: 0804.4688.

[Shu94]

Mei Chee Shum. “Tortile tensor categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 93.1 (1994), pp. 57–110. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(92)00039-T.

[Zha]

Shouchuan Zhang. Braided Hopf Algebras. arXiv: math/0511251.