Tricategories

高次の圏の内, object と morphism の他に更に \(2\)-morphism を持つ bicategory などは, 最もよく調べられている。複雑ではあるが, まだ人間の手で扱える程度だからである。

その上に, 更に \(3\)-morphism を持つ3次元的な構造も考えられているが, 非常に複雑である。例えば, bicategory に対応するものは, Gorndon, Power, Street [GPS95] の tricategory であるが, その定義だけで, 実質6ページを占めている。 Gurski が thesis で考えている algebraic tricategory [Gur06] もある。

• Gordon, Power, Street の tricategory
• Gurski の algebraic tricategory

まずは, Power の解説 [Pow95] に目を通してみるのもよいかもしれない。

任意の bicategory は strict 2-category と biequivalent になるが, 残念ながら tricategory を strict 3-category にすることは, 一般には, できない。 Lack の [Lac11] にあるように, 任意の tricategory は, Gray-category と triequivalent になるので, tricategory の strict化としては, strict \(3\)-category ではなく Gray-category を使うべきである。 Gray-category とは, Gray [Gra74] の定義した strict \(2\)-category の成す monoidal category で enrichされた category のことである。Monoidal structure が通常の 2-category の category のものと異なる (Gray-tensor product) ことがポイントである。

• Gray-category と Gray tensor product

\(3\)-category の特別な場合である braided monoidal category は, 様々な場面で使われている。\(3\)-category であることは, あまり意識されていないように思うが。

• braided monoidal category
• object \(1\)つ, \(1\)-morphism \(1\)つの tricategory は, braided monoidal category である。

また, monoidal category が object \(1\)つの bicategory であることから, monoidal \(2\)-category (monoidal bicategory) をobject \(1\)つの \(3\)-category と考える [KV94] のは自然なアイデアである。他にも, Gray-category での monoid object として定義するという流儀 [GPS95; DS97] もある。

逆に, monoidal \(2\)-category の「正しい定義」から, \(3\)-category がみたすべき条件を推測するということも考えられる。Joyal と Kock [JK07; JK13] は, strict な monoidal structure を持つ strict \(2\)-category の unit の条件をどのように弱めるかを考えている。

\(3\)-groupoid は, Etingof と Nikshych と Ostrik の [ENO10] で fusion category の群による extension を分類するために使われている。 Schaumann [Sch15] は, finite tensor category 上の bimodule が tricategory を成すことを示している。

この \(n\)-Category Café の post に書かれている Bartels と Douglas と Henriques の結果は [BDH] であるが, そこでは, conformal net の成す tricategory が考えられている。

他に「自然に」現われる tricategory としては, 物性の理論での Levin-Wen model の Kitaev と Kong による拡張 [KK12] などがある。

Douglas と Henriques [DH] は, conformal net や topological quantum field theory などのように, 代数的あるいは幾何学的構造から得られる tricategory を扱うために, category の成す 2-category での bicategory object を考えている。

\(3\)-category あるいは tricategory の分類空間については, Cegarra と Heredia の [CH14] を見るとよい。

Garner と Gurski [GG09] は, \(3\)-category の category を考えている。

3次元的な categorical structure としては, Grandis と Paré が導入した intercategory という構造もある。“Interchange category” という意味らしい。

• intercategory

References

[BDH]

Arthur Bartels, Christopher L. Douglas, and André G. Henriques. Conformal nets and local field theory. arXiv: 0912.5307.

[CH14]

Antonio M. Cegarra and Benjamín A. Heredia. “Comparing geometric realizations of tricategories”. In: Algebr. Geom. Topol. 14.4 (2014), pp. 1997–2064. arXiv: 1203.3664. url: https://doi.org/10.2140/agt.2014.14.1997.

[DH]

Christopher L. Douglas and André G. Henriques. Internal bicategories. arXiv: 1206.4284.

[DS97]

Brian Day and Ross Street. “Monoidal bicategories and Hopf algebroids”. In: Adv. Math. 129.1 (1997), pp. 99–157. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1997.1649.

[ENO10]

Pavel Etingof, Dmitri Nikshych, and Victor Ostrik. “Fusion categories and homotopy theory”. In: Quantum Topol. 1.3 (2010). With an appendix by Ehud Meir, pp. 209–273. arXiv: 0909.3140. url: http://dx.doi.org/10.4171/QT/6.

[GG09]

Richard Garner and Nick Gurski. “The low-dimensional structures formed by tricategories”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 146.3 (2009), pp. 551–589. arXiv: 0711 . 1761. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004108002132.

[GPS95]

R. Gordon, A. J. Power, and Ross Street. “Coherence for tricategories”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 117.558 (1995), pp. vi+81. url: https://doi.org/10.1090/memo/0558.

[Gra74]

John W. Gray. Formal category theory: adjointness for \(2\)-categories. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 391. Berlin: Springer-Verlag, 1974, pp. xii+282.

[Gur06]

Nick Gurski. “An algebraic theory of tricategories”. PhD thesis. University of Chicago, 2006. url: http://www.math.yale.edu/~mg622/tricats.pdf.

[JK07]

André Joyal and Joachim Kock. “Weak units and homotopy 3-types”. In: Categories in algebra, geometry and mathematical physics. Vol. 431. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 257–276. arXiv: math/0602084.

[JK13]

André Joyal and Joachim Kock. “Coherence for weak units”. In: Doc. Math. 18 (2013), pp. 71–110. arXiv: 0907.4553.

[KK12]

Alexei Kitaev and Liang Kong. “Models for gapped boundaries and domain walls”. In: Comm. Math. Phys. 313.2 (2012), pp. 351–373. arXiv: 1104.5047. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-012-1500-5.

[KV94]

M. M. Kapranov and V. A. Voevodsky. “\(2\)-categories and Zamolodchikov tetrahedra equations”. In: Algebraic groups and their generalizations: quantum and infinite-dimensional methods (University Park, PA, 1991). Vol. 56. Proc. Sympos. Pure Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1994, pp. 177–259.

[Lac11]

Stephen Lack. “A Quillen model structure for Gray-categories”. In: J. K-Theory 8.2 (2011), pp. 183–221. arXiv: 1001.2366. url: http://dx.doi.org/10.1017/is010008014jkt127.

[Pow95]

A. J. Power. “Why tricategories?” In: Inform. and Comput. 120.2 (1995), pp. 251–262. url: http://dx.doi.org/10.1006/inco.1995.1112.

[Sch15]

Gregor Schaumann. “Pivotal tricategories and a categorification of inner-product modules”. In: Algebr. Represent. Theory 18.6 (2015), pp. 1407–1479. arXiv: 1405 . 5667. url: https://doi.org/10.1007/s10468-015-9547-6.