Non-metrizable Manifolds

普通 多様体, 特に 可微分多様体は, 第2可算公理をみたすことを仮定するので, metrizable である。

ところが, 世の中には metrizable でない多様体を調べている人もいる．例えば, Gabard の [Gab08] に Prüfer surface という separable であるが, metrizable ではない多様体の例が挙げてある．

Baillif [Bai25] は, metrizable ではない多様体については Gauld の本 [Gau14] を挙げている。 まずは, Gauld の [Gau] を読んでみるのもよい, と思う。 そこには survey として, Nyikos の [Nyi84; Nyi93] が挙げてある．

Gauld [Gau12] は 曲面の場合に mapping class group を調べている。 Foliation についても [BGG14] で調べている。

ホモトピー型を調べたものとして, Baillif の [Bai25] がある。 その Introduction には, metrizable ではない多様体のホモトピー型を調べる理由が挙げてあるが, footnote に, 本当の理由はこのような問題を考えるのが好きだからだ, と書かれている。 恐らく referee に理由を書けと言われたのだろう。

更に, metrizable ではない多様体の中の class として, Hausdorff ではない多様体を調べている人もいる。Baillif の [Bai] など。

References

[Bai]

Mathieu Baillif. On non-Hausdorff manifolds. arXiv: 2502.17707.

[Bai25]

Mathieu Baillif. “Non-metrizable manifolds and contractibility”. In: Appl. Gen. Topol. 26.1 (2025), pp. 303–339. arXiv: 2308.03459. url: https://doi.org/10.4995/agt.2025.21796.

[BGG14]

Mathieu Baillif, Alexandre Gabard, and David Gauld. “Foliations on non-metrisable manifolds: absorption by a Cantor black hole”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 142.3 (2014), pp. 1057–1069. arXiv: 0910.1897. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9939-2013-11900-3.

[Gab08]

Alexandre Gabard. “A separable manifold failing to have the homotopy type of a CW-complex”. In: Arch. Math. (Basel) 90.3 (2008), pp. 267–274. arXiv: math/0609665. url: https://doi.org/10.1007/s00013-007-2321-1.

[Gau]

David Gauld. Metrisability of Manifolds. arXiv: 0910.0885.

[Gau12]

David Gauld. “Homeomorphisms of bagpipes”. In: Topology Proc. 40 (2012), pp. 109–120. arXiv: 0910.0924.

[Gau14]

David Gauld. Non-metrisable manifolds. Springer, Singapore, 2014, pp. xvi+203. isbn: 978-981-287-256-2; 978-981-287-257-9. url: https://doi.org/10.1007/978-981-287-257-9.

[Nyi84]

Peter Nyikos. “The theory of nonmetrizable manifolds”. In: Handbook of set-theoretic topology. North-Holland, Amsterdam, 1984, pp. 633–684.

[Nyi93]

Peter J. Nyikos. “Mary Ellen Rudin’s contributions to the theory of nonmetrizable manifolds”. In: The work of Mary Ellen Rudin (Madison, WI, 1991). Vol. 705. Ann. New York Acad. Sci. New York Acad. Sci., New York, 1993, pp. 92–113. url: http://dx.doi.org/10.1111/j.1749-6632.1993.tb12527.x.