射影空間とその変種

射影空間は, ( ホモロジーを考えるときには) 球面の次に簡単な空間であり, また Lie群や 球面との関係などでも, 重要な役割を果たす空間である。

• 実射影空間 \(\RP ^n\)
• 複素射影空間 \(\CP ^n\)
• 四元数射影空間 \(\mathbb {H}\mathrm {P}^n\)
• 八元数体上の射影平面 \(\mathbb {O}\mathrm {P}^{2}\)

射影平面が, 実数, 複素数, 四元数, 八元数から作られるものしかないのは, Hopf invariant one の写像 \(S^{2n-1}\to S^{n}\) の非存在 [Ada60] が理由である。

ただし, この Hopf invariant one の写像の存在は Steenrod operation に関係したことなので, 有理ホモトピー型でなら存在するかもしれない, と考えるのは悪くない。実際, 有理コホモロジー環が

となる多様体を rational projective plane と呼び調べている人がいる。

• rational projective plane

Su [Su14] は, \(32\)次元の rational projective plane を構成している。そのような多様体の homeomorphism type は無限個あるらしい。Su は Kennard との共著 [KS19] で, rational projective plane が存在する次元について調べている。

代数 (幾何学) 的視点からの, \(\mathbb {O}\mathrm {P}^{2}\) の一般化としては, Schechtman [Sch] による Moufang loop に対する構成がある。

\(\RP ^{n}\setminus \RP ^{n-1}\) は \(\R ^{n}\) と同相になるが, そこには cross-ratio により Hilbert metric と呼ばれる自然な 距離が定まり, 双曲幾何学のモデルの一つとなる。 より一般に \(\RP ^{n}\) の中のある種の部分集合上で Hilbert metric による幾何学を考えたものを, Islam [Isl25] は Hilbert geometry と呼んでいる。

• Hibert metric
• Hilbert geometry

組み合せ論的には, 射影空間の頂点数最小の単体分割の問題が考えられている。

• minimal triangulations of projective spaces

コホモロジーレベルでは, 射影空間は, 直交群や unitary 群の generating complex としての役割がある。

複素射影空間 \(\CP ^n\) は, \(S^{2n+1}\) への \(S^1\) の 作用による商空間と考えることができるが, それ自身へも, \(n\)次元トーラスが作用し, トーラスの作用する多様体の例として基本的である。 実射影空間は, その real analogue である small cover の構造を持つ。

その作用を少し変形すると weighted projective space ができるが, それにもトーラスは作用する。

• weighted projective space

ホモトピー論では, truncated projective space などといった人工的に細工したものも使う。

• truncated projective space (stunted projective space)

Don Davis は, [Dav10] で, 球面のいくつかの直積を \(\Z _2\) の antipodal action で割った projective product space について調べている。

• projective product space

対称空間としての一般化として, Rosenfeld projective plane というものもある。 Baez の [Bae02] では [Roz56] が参照されている。 MathSciNet のデータでは, Rozenfel\('\)d という綴りであるが, 現在の文献では, Rosenfeld と書かれるのが普通だろう。

• Rosenfeld projective plane

Jones ら [JRTb] は, \(R_{1}\), \(R_{2}\), \(R_{3}\), \(R_{4}\), \(R_{5}\), \(R_{6}\), \(R_{7}\) という記号を使っている。\(R_{1}=\RP ^{2}\), \(R_{2}=\CP ^{2}\), \(R_{3}=\Ha \mathrm {P}^{2}\), \(R_{4}=\mathbb {O}\mathrm {P}^{2}\) であり, これらは普通は Rosenfeld projective plane とは呼ばれない。\(R_{5}\), \(R_{6}\), \(R_{7}\) は, それぞれ \(E_{6}\), \(E_{7}\), \(E_{8}\) の商空間として得られる対称空間であり, これらが Rosenfeld projective plane あるいは Rosenfeld plane と呼ばれるものである。 もっとも \(R_{4}\) は \(F_{4}/\mathrm {Spin}(9)\) であり, やはり 例外型 Lie 群から得られているので, Rosenfeld projective plane の仲間に入れてあげてもいいような気がする。

Hoekzema [Hoe] は, higher orientability, つまり Stiefel-Whitney class がどこまで消えるかを調べている。

Jones ら [JRTb] は, rational homotopy group や \(K\)-theory を調べ, それにより rational cohomology を調べている。彼等は, [JRTa] では \(R_{5}\) を詳しく調べている。

References

[Ada60]

J. F. Adams. “On the non-existence of elements of Hopf invariant one”. In: Ann. of Math. (2) 72 (1960), pp. 20–104. url: https://doi.org/10.2307/1970147.

[Bae02]

John C. Baez. “The octonions”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 39.2 (2002), pp. 145–205. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-01-00934-X.

[Dav10]

Donald M. Davis. “Projective product spaces”. In: J. Topol. 3.2 (2010), pp. 265–279. arXiv: 0908.0525. url: https://doi.org/10.1112/jtopol/jtq006.

[Hoe]

Renee S. Hoekzema. Orientability of high-dimensional manifolds with odd Euler characteristic. arXiv: 2007.05451.

[Isl25]

Mitul Islam. “Rank-one Hilbert geometries”. In: Geom. Topol. 29.3 (2025), pp. 1171–1235. arXiv: 1912.13013. url: https://doi.org/10.2140/gt.2025.29.1171.

[JRTa]

John Jones, Dmitriy Rumynin, and Adam R. Thomas. On the 32-dimensional Rosenfeld projective plane. arXiv: 2311.02627.

[JRTb]

John Jones, Dmitriy Rumynin, and Adam R. Thomas. The classical topological invariants of homogeneous spaces. arXiv: 2310.14365.

[KS19]

Lee Kennard and Zhixu Su. “On dimensions supporting a rational projective plane”. In: J. Topol. Anal. 11.3 (2019), pp. 535–555. arXiv: 1702.07892. url: https://doi.org/10.1142/S1793525319500237.

[Roz56]

B. A. Rozenfel\('\)d. “A geometric interpretation of symmetric spaces with simple fundamental groups”. In: Dokl. Akad. Nauk SSSR (N.S.) 110 (1956), pp. 23–26.

[Sch]

Vadim Schechtman. Moufang loops and toric surfaces. arXiv: 2102.12868.

[Su14]

Zhixu Su. “Rational analogs of projective planes”. In: Algebr. Geom. Topol. 14.1 (2014), pp. 421–438. arXiv: 1010.3274. url: https://doi.org/10.2140/agt.2014.14.421.