Triple, Monad, Cotriple, Comonad

Monad という概念がある。 Adjoint functor の組があると, そこから自然に monad ができるが, Eilenberg と Moore [EM65] によると, このことに最初に気付いたのは Huber [Hub61] らしい。 Böhm と Ştefan [BŞ08] によると, Godement の本 [God73] に登場するらしいから, そちらの方が古いが。 Monad は triple とも呼ばれる。その双対として comonad (cotriple) もある。

(Co)monad については, Weibelの本 [Wei94] にも解説があるが, 詳しいのは Beck の thesis である。

最も簡潔な monad の定義としては, ある圏 \(C\) の endomorphism functor と natural transformation の成す圏 \(\category {End}(C)\) を functor の合成で monoidal category と考えたときの, monoid object というものがある。これは, 例えば, M. Weber の [Web04] に書いてある。この Weber の論文では, club という概念が使われているが, これは Kelly により導入 [Kel72a; Kel72b; Kel74; Kel92] された, 特別な種類の monad である。

• club

例としては, 例えば, 以下のようなものがある。

• adjunction から得られる monad
• functor から得られる codensity monad [Lei13]
• operad から得られる monad
• monoid object から得られる monad
• Giry monad
• ultrafilter monad or compact Hausdorff monad
• Vietoris monad [Vie22; Gar20]

これらの monad の間には様々な関係がある。Leinster [Lei13] は, 有限集合の圏の集合全体の圏への包含から得られる codensity monad が ultrafilter monad であることを示している。

Giry monad は, 抽象的な凸集合の特徴付けに用いられるが, probability measure の集合として定義されるので, probability monad の一種である。Probability monad と呼ばれるものは, 他にも色々あり, Van Belle の [Van22] には, Giry monad とその変種以外に, 次のものが挙げられている。

• Radon monad [Sem73; Świ74]
• bounded Lipschitz monad [Bre]
• Baire monad [Van22]

Garner は [Gar06] で pseudo double category での monad と類似の概念を考えている。 Algebraic theory や multicategory などを統一して扱うための枠組みとして, double category 上の monad を使うことを提案しているのは, Cruttwell と Shulman [CS10] である。

Monad は, category の成す \(2\)-category の構造を使って定義されているが, より一般の \(2\)-category でも変更なく定義できる。更に, bicategory でも少し気をつければ定義できる。このことに最初に気がついたのは, Benabou [Bén67] らしい。

Monad は, monoid のようなものなので, その作用を考えることができる。普通は, monad 上の algebra と呼ばれるが, Ardizzoni, Gómez-Torrecillas, Menini の [AGM15] のように, moduleと言った方が良いと思う。それら全体は category を成すが, それをその monad の Eilenberg-Moore category という。

• monad 上の module (algebra)
• comonad 上の comodule (coalgebra)
• Eilenberg-Moore category

更に, monad を色々動かすと bicategory ができる。 一般の bicategory での monad の成す bicategory について調べたのは, Street [Str72] が最初だろうか。 Lack との共著による続編が, [LS02] として出ている。

• formal theory of monad

Eugenia Cheng [Che11] や Böhm [Böh10] が, その拡張について考えている。 Double category の場合は, Fiore と Gambino と Kock [FGK11] により考えられている。

Bialgebra や Hopf algebra の拡張として, bimonad や Hopf monad という概念を考えている人 [BV07; MW11; BLV11] もいる。

• Hopf monad

Mesablishvili の [Mes06] によると, monad と Grothendieck の descent の理論との関係を明らかにしたのはBeck (unpublished) と Bénabou と Roubaud [BR70] らしい。 ホモトピー論的な descent theory の一般化は, Hess の [Hes] で構築されている。そこで用いられているのは, simplicial category であるが。

代数的トポロジーでは, comonad や monad は, functorial な “resolution” の構成に使われることが多い。例えば, いくつかの スペクトル系列の構成 [Mil78] や Johnson と McCarthy による Taylor tower の構成 [JM04] などがある。Hess の [Hes] では, 様々な spectral sequence が monad や comonad に associate した descent あるいは codescent spectral sequence として表わせることが示されている。

最近(?)では, monad は, 計算機科学でも用いられるようになってきた。 そのための一般化として relative monad というものがある。

• relative monad [ACU15]

Monad を “up to homotopy” で考えることも必要である。Bauer と Libman の [BL10] で \(A_{\infty }\)-monad として定義され, 調べられている。 Bousfield-Kan の \(R\)-completion functor が motivating example のようである。

• Bauer-Libman の \(A_{\infty }\)-monad

Bauer と Libman のものは, 位相空間の圏での \(A_{\infty }\)-operad を用いて定義されているので, 位相空間の圏で enrich された圏でないと定義されないが, 同じ名前で Banerjee と Naolekar が [BN] で導入しているものは, Abelian category 定義される。 彼等は, \(A_{\infty }\)-algebra や \(A_{\infty }\)-coalgebra そして, それらの上の module や comodule を定義するために用いている。

• Banerjee-Naolekar の \(A_{\infty }\)-monad

Monad や comonad の 高次元化も考えられている。 Shulman の [Shu12] によると, Blackwell, Kelly, Power の [BKP89] が最初のようである。Batanin と Weber の [BW11] には, \(2\)-monad については, Lack の [Lac02] を見るように書いてある。Shulman は, Lack の[Lac10] の §4 を参照している。

• \(2\)-monad

\(2\)-monad 上の algebra も考えられるが, やはり条件を up to natural isomorphism で弱めないといけない。

• \(2\)-monad 上の pseudoalgebra

Monoidal category を strict monoidal category で置き換えるように, strict化できる場合もあるが, Shulman [Shu12] の言うように, 全ての pseudoalgebra が strict化できるわけではない。

\((\infty ,1)\)-category での monad については, Lurie の本 [Lur09] の §4.7 に書かれている。

• monad and comoand on \((\infty ,1)\)-category

Monoidal category での monad は, A. Kock [Koc70; Koc72] により調べられている。 Seal [Sea13] が monoidal monad が Eilenberg-Moore category に monoidal structure を誘導するための十分条件を得ている。

• monoidal monad
• comonoidal monad

多重 monoidal category での monad や comonad も考えられている。Aguiar らの [AHL18] など。

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