(∞,n)-category

高次の圏のうち, 最近最も popular なのは, quasicategory などを用いた \((\infty ,1)\)-category だろう。

• \((\infty ,1)\)-category

しかし \((\infty ,1)\)-category では, 高次の射が全て “invertible” になっているので, 通常の category に“高次の isomorphism” を追加されているだけであり, 本質的には, object と \(1\)-morphism からできているものである。

本物の高次の圏のモデルとして, \((\infty ,n)\)-category, つまり \((n+1)\)-morphism 以上が全て invertible になっているものが, 色々考えられている。 例えば, Lurie は Goodwillie calculus [0905.0462] や topological quantum field theory [0905.0465] などのために使うことを考えている。他の用途としては, Haugseng [1409.0837] による iterated span の成す category の構成がある。 これも topological quantum field theory に関係したものであるが。

\((\infty ,n)\)-category の中でも, \((\infty ,2)\)-category はかなり一般的になってきた。

• \((\infty ,2)\)-category

\((\infty ,1)\)-category に対しては, quasicategory や complete Segal space など複数のモデルがあるが, 当然 \((\infty ,n)\)-category も様々なモデルがある。 complete Segal space の高次化であるが, quasicategory の高次化などもある。

• higher complete Segal space
• iterated Segal space [BarwickThesis]
• \(\Theta _{n}\)-space [0901.3602]
• quasi-\(n\)-category [1206.4354]
• higher Segal category [1308.3574]
• complicial space [1610.06801]

これらの model が algebraic ではないことを指摘し, algebraic な model を提案しているのは, Kachour の [1208.0660] である。

これらは, simplicial set に基いたものであるが, cubical set に基いたも のもある。 Kachour の [1702.00336] や Campion, Kapulkin, Maehara の [2005.07603] など。

\((\infty ,n)\)-category の解説やこれらのモデルの比較も色々登場している。 例えば次のようなものがある。

• Lurie の本 [LurieHigherAlgebra]
• Simpson の本 [Simpson2012] やその arXiv 版 [1001.4071]
• Schommer-Pries の lecture notes [1308.3574]
• Bergner による様々なモデルの survey [1810.10052]

このような \((\infty ,n)\)-category のモデルについて, Toën の \((\infty ,1)\)-category の category の特徴付けを拡張しようというのが, この \(n\)-Category Café の post で紹介されている Barwick と Schommer-Pries の [1112.0040] である。 そこには, その公理をみたす \((\infty ,n)\)-category のモデルの例も色々挙げられている。 \((\infty ,n)\)-category の成す \((\infty ,1)\)-category の構造についても考えられている。

Bergner と Rezk [1406.4182] は, \((\infty ,n)\)-category で enrich されたものが \((\infty ,n+1)\)-category である, という当然成り立ちそうなことを, 正確に述べて証明している。

coCartesian fibration については, Nuiten [2108.11431] が調べている。

この MathOverflow の質問に対する Lurie の回答にあるように, \((\infty ,n)\)-category でも monoidal structure を考える方法はいくつかある。

• monoidal \((\infty ,n)\)-category
• symmetric monoidal \((\infty ,n)\)-category