Linear Category

可換環 \(k\) に対し, \(k\)-module の成す symmetric monoidal categoryenrich された category を \(k\)上の linear category という。

まず, ホモロジー代数で使われる additive category や Abelian category の基礎として使われる。

Barry Mitchell の [Mit72] のタイトルにもあるように, \(k\)-linear category は “\(k\)-algebra with several objects” とみなすことができる。つまり object が一つだけの \(k\)-linear category が \(k\)-algebra である。当然, \(k\)-algebra に関する概念で \(k\)-linear category に一般化されているものも多いし, \(k\)-algebra で成り立つ性質を一般化しようという試みもある。

もう一つの用途としては, ベクトル空間の高次版がある。 最初にこのアイデアを思いついたのは誰なのだろう。 Baez達なのだろうか。Brandenburg と Chirvasitu と Johnson-Freyd の [BCJ] では, linear dual の定義も提案されている。

  • 体上の linear category の linear dual

References

[BCJ]

Martin Brandenburg, Alexandru Chirvasitu, and Theo Johnson-Freyd. Reflexivity and dualizability in categorified linear algebra. arXiv: 1409.5934.

[DSS19]

Christopher L. Douglas, Christopher Schommer-Pries, and Noah Snyder. “The balanced tensor product of module categories”. In: Kyoto J. Math. 59.1 (2019), pp. 167–179. arXiv: 1406.4204. url: https://doi.org/10.1215/21562261-2018-0006.

[Mit72]

Barry Mitchell. “Rings with several objects”. In: Advances in Math. 8 (1972), pp. 1–161. url: http://dx.doi.org/10.1016/0001-8708(72)90002-3.

[Yet09]

D. N. Yetter. “On deformations of pasting diagrams”. In: Theory Appl. Categ. 22 (2009), No. 2, 24–53. arXiv: 0709.3778.