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Digital image をトポロジーの手法で調べる digital topology という分野があるということは, かなり前から耳にしていたが,
その数学的な基礎がどうなっているのかがよく分からなかった。
2次元の画像データの場合, 座標とRGBの値の組の集まりで表されるので, \(\Z ^{5}\) の部分集合として考えるのは誰でも思うことだろう。 実際,
Boxer の [Box99] では, \(\Z ^{k}\) の部分集合として定義されている。 現在では, より一般に, 抽象的に digital image
の概念が定義されている。 例えば, Staecker の [Sta21] では, 集合 \(X\) とその上の symmetric かつ antireflexive
relation の組として定義されている。
その Staecker の論文によると, このような抽象的な digital image の定義に基づいた digital topology は
Rosenfeld の仕事 [Ros86] に起源があるようである。 連続写像の digital 版を始めとして, その枠組みで, 位相空間に関係する概念の
digital 版が色々定義されている。 そして digital image のホモトピー論も展開されている。 それについては, Staecker の
[Sta21] を見るのが良いと思う。
Boxer と Staecker [BS18; BS17] によると, ホモトピーに関しては, いくつかの選択肢があるようである。
- digital homotopy
- strong homotopy
- punctured homotopy
Staecker の [Sta21] では, digital homotopy と strong homotopy が比較されている。
ホモロジーも定義されている。位相空間のように, simplicial singular homology や cubical singular
homology など, いくつかの選択肢がある。
基本群については, Lupton, Oprea, Scoville [LOS21] によるものがある。Lupton と Scoville [LS22] は,
digital image をグラフとみなしたものの clique complex の edge group と同型になることを示している。
他には, 次のような概念の digital 版が定義されている。
References
-
[AKS22]
-
Muhammad Sirajo Abdullahi, Poom Kumam, and P. Christopher
Staecker. “Digital Lefschetz numbers and related fixed point
theorems”. In: Rev. R. Acad. Cienc. Exactas Fı́s. Nat. Ser. A Mat.
RACSAM 116.4 (2022), Paper No. 173, 23. arXiv: 2004.07550. url:
https://doi.org/10.1007/s13398-022-01318-1.
-
[Box20a]
-
Laurence Boxer. “Approximate fixed point property for digital
trees and products”. In: Bull. Int. Math. Virtual Inst. 10.3 (2020),
pp. 595–602. arXiv: 2004.03394.
-
[Box20b]
-
Laurence Boxer. “Fixed point sets in digital topology, 2”. In: Appl.
Gen. Topol. 21.1 (2020), pp. 111–133. arXiv: 1904.00534. url:
https://doi.org/10.4995/agt.2020.12101.
-
[Box21]
-
Laurence Boxer. “Convexity and freezing sets in digital topology”.
In: Appl. Gen. Topol. 22.1 (2021), pp. 121–137. arXiv: 2005.09713.
url: https://doi.org/10.4995/agt.2021.14185.
-
[Box22]
-
Laurence Boxer. “Remarks on fixed point assertions in digital
topology, 5”. In: Appl. Gen. Topol. 23.2 (2022), pp. 437–451. arXiv:
2111.07813.
-
[Box99]
-
Laurence Boxer. “A classical construction for the digital fundamental
group”. In: J. Math. Imaging Vision 10.1 (1999), pp. 51–62. url:
https://doi.org/10.1023/A:1008370600456.
-
[BS17]
-
Laurence Boxer and P. Christopher Staecker. “Homotopy relations
for digital
images”. In: Note Mat. 37.1 (2017), pp. 99–126. arXiv: 1509.06576.
url: https://doi.org/10.1285/i15900932v37n1p99.
-
[BS18]
-
Laurence Boxer and P. Christopher Staecker. “Remarks on pointed
digital homotopy”. In: Topology Proc. 51 (2018), pp. 19–37. arXiv:
1503.03016.
-
[BS20]
-
Laurence Boxer and P. Christopher Staecker. “Fixed point sets in
digital topology, 1”.
In: Appl. Gen. Topol. 21.1 (2020), pp. 87–110. arXiv: 1901.11093.
url: https://doi.org/10.4995/agt.2020.12091.
-
[IKa]
-
Melih Is and Ismet Karaca. Certain topological methods for
computing digital topological complexity. arXiv: 2103.00468.
-
[IKb]
-
Melih Is and Ismet Karaca. Digital Topological Complexity of Digital
Maps. arXiv: 2103.00585.
-
[İK20]
-
Melih İs and İsmet Karaca. “The higher topological complexity in
digital images”. In: Appl. Gen. Topol. 21.2 (2020), pp. 305–325. url:
https://doi.org/10.4995/agt.2020.13553.
-
[Kİ18]
-
İsmet Karaca and Melih İs. “Digital topological complexity
numbers”. In: Turkish J. Math. 42.6 (2018), pp. 3173–3181. url:
https://doi.org/10.3906/mat-1807-101.
-
[LOS21]
-
Gregory Lupton, John Oprea, and Nicholas A. Scoville. “A
fundamental group for digital images”. In: J. Appl. Comput.
Topol. 5.2 (2021), pp. 249–311. arXiv: 1906 . 05976. url:
https://doi.org/10.1007/s41468-021-00067-1.
-
[LOS23]
-
Greg Lupton, John
Oprea, and Nicholas A. Scoville. “The digital Hopf construction”. In:
Topology Appl. 326 (2023), Paper No. 108405. arXiv: 2002.03027.
url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2022.108405.
-
[LS22]
-
Gregory Lupton and Nicholas A. Scoville. “Digital fundamental
groups and edge groups of clique complexes”. In: J. Appl.
Comput. Topol. 6.4 (2022), pp. 529–558. arXiv: 1910.08189. url:
https://doi.org/10.1007/s41468-022-00095-5.
-
[Ros86]
-
Azriel Rosenfeld. ““Continuous” functions on digital pictures”. In:
Pattern Recognition Letters 4.3 (1986), pp. 177–184.
-
[Sta21]
-
P. Christopher
Staecker. “Digital homotopy relations and digital homology theories”.
In: Appl. Gen. Topol. 22.2 (2021), pp. 223–250. arXiv: 2106.01171.
url: https://doi.org/10.4995/agt.2021.13154.
-
[VB20]
-
Tane Vergili and Ayşe Borat. “Digital Lusternik-Schnirelmann
category of digital functions”. In: Hacet. J. Math. Stat. 49.4 (2020),
pp. 1414–1422. url: https://doi.org/10.15672/hujms.559796.
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