Zonotopes

立方体の affine map による像として得られる 多面体を zonotope という。平行移動の分を除けば線形写像による像と言ってもよいので, 行列から得られる。よって, vector configuration から得られるものでもある。 また, いくつかの線分の Minkowski sum で得られる多面体と言っても良い。

Vector configuration からは hyperplane arrangement が得られるので, hyperplane arrangement とも関係が深い。 Ziegler の本 [Zie95] の §7.3 に書かれている。Lattice zonotope について解説としては, Braun と Vindas-Meléndez の [BV19] がある。

Zonotope に関連した algebra として, zonotopal algebra と呼ばれる algebra の class がある。 Holz と Ron の [HR11] で導入されたもので, Holz と Ron は次の3種類の algebra を定義している。

• external zonotopal algebra
• central zonotopal algebra
• internal zonotopal algebra

ただし, Crowley と Proudfoot [CP] によると, external zonotopal algebra は, 既に Postnikov, Shapiro, Shapiro [PSS99] により導入されていたようである。また, Crowley, Dorpalen-Barry, Henriques, Proudfoot [Cro+], によると zonotopal algebra は, 独立に Ardila と Postnikov [AP10; AP15] によっても導入されていたようである。

頂点集合が \(\{1,\ldots ,n\}\) である グラフからは, \(i\) と \(j\) が辺で結ばれているときに \(e_{i}-e_{j}\) を作ることにより vector configuration ができるから, それにより zonotope ができる。 Stanley の [Sta07] にある。

• graphical zonotope
• graphical zonotopal algebra

多面体ではないが, zonotope の Hausdorff metric に関する極限は zonoid と呼ばれている。Braides と Chambolle [BC24] は, Schneider の本 [Sch14] を参照している。

• zonoid

References

[AP10]

Federico Ardila and Alexander Postnikov. “Combinatorics and geometry of power ideals”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 362.8 (2010), pp. 4357–4384. arXiv: 0809.2143. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-10-05018-X.

[AP15]

Federico Ardila and Alexander Postnikov. “Correction to “Combinatorics and geometry of power ideals”: two counterexamples for power ideals of hyperplane arrangements [MR2608410]”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 367.5 (2015), pp. 3759–3762. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-2015-06071-1.

[BC24]

Andrea Braides and Antonin Chambolle. “Ising systems, measures on the sphere, and zonoids”. In: Tunis. J. Math. 6.2 (2024), pp. 299–319. arXiv: 2305.11054. url: https://doi.org/10.2140/tunis.2024.6.299.

[BV19]

Benjamin Braun and Andrés R. Vindas-Meléndez. “A brief survey on lattice zonotopes”. In: Algebraic and geometric combinatorics on lattice polytopes. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2019, pp. 101–116. arXiv: 1808.04933.

[CP]

Colin Crowley and Nicholas Proudfoot. The geometry of zonotopal algebras II: Orlik–Terao algebras and Schubert varieties. arXiv: 2505.05324.

[Cro+]

Colin Crowley, Galen Dorpalen-Barry, André Henriques, and Nicholas Proudfoot. The geometry of zonotopal algebras I: cohomology of graphical configuration spaces. arXiv: 2502.12768.

[HR11]

Olga Holtz and Amos Ron. “Zonotopal algebra”. In: Adv. Math. 227.2 (2011), pp. 847–894. arXiv: 0708.2632. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2011.02.012.

[PSS99]

Alexander Postnikov, Boris Shapiro, and Mikhail Shapiro. “Algebras of curvature forms on homogeneous manifolds”. In: Differential topology, infinite-dimensional Lie algebras, and applications. Vol. 194. Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, pp. 227–235. arXiv: math/9901075. url: https://doi.org/10.1090/trans2/194/10.

[Sch14]

Rolf Schneider. Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory. expanded. Vol. 151. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press, Cambridge, 2014, pp. xxii+736. isbn: 978-1-107-60101-7.

[Sta07]

Richard P. Stanley. “An introduction to hyperplane arrangements”. In: Geometric combinatorics. Vol. 13. IAS/Park City Math. Ser. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007, pp. 389–496. url: https://doi.org/10.1090/pcms/013/08.

[Zie95]

Günter M. Ziegler. Lectures on polytopes. Vol. 152. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1995, pp. x+370. isbn: 0-387-94365-X. url: https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8431-1.