無限次元多様体の幾何学とトポロジー

\(\R \) 上 (\(\bbC \) 上) の有限次元ベクトル空間は, \(\R ^n\) (\(\bbC ^n\)) と同一視できるので, 有限次元多様体の場合は次元だけ考えればよかった。 ところが無限次元ベクトル空間は, 同じ可算次元のものでも様々な位相 (norm) が入るので, 位相ベクトル空間として考えないといけない。 つまりモデルとするベクトル空間に canonical なものが無いのである。

無限次元多様体については, まず Palais の論文 [Pal66] を見るべきだろう。Kriegl と Michor の解説 [KM91; KM97] もある。 最近のものでは Sakai の本 [Sak20] もある。 Lang の多様体の本 [Lan95] は無限次元の場合も含めて書いてある。

• 位相ベクトル空間 \(V\) を model とする位相多様体の定義
• 第1可算公理をみたす locally convex topological vector space を model とする位相多様体は locally metrizable
• Locally convex topological vector space \(V\) を model とする位相多様体が metrizable であるための必要十分条件は, \(V\) が第1可算公理をみたし, paracompact であることである。
• Hilbert manifold
• Banach manifold
• Fredholm manifold

Palais は, [Pal66] で metrizable manifold について詳しく調べている。 例えば, 次の結果を得ている。

• Metrizable manifold は, simplicial complex で dominate される。
• \(M\) と \(N\) が metrizable manifold のとき, 任意の 弱ホモトピー同値 \(f :M \to N\) はホモトピー同値である。

Ramras [Ram11] は, 無限次元の場合も含め, 群の作用を持つ多様体の invariant submanifold に対し, invariant tubular neighborhood の存在を考えている。

無限次元球面はあまり面白くない。

• \(S^{\infty }\) は可縮である。

この事実は, \(S^{\infty }\) のホモトピー群が全て消えていること, \(S^{\infty }\) が CW複体の構造を持つこと, そしてCW複体では 弱ホモトピー同値ならばホモトピー同値であること, を組み合せれば得られる。

この MathOverflow の質問に対する回答の一つでは, \(\R ^{\infty }=\colim _{n}\R ^{n}\) をモデルにした多様体では弱ホモトピー同値と同相であることが同値であるという Heisey の結果 [Hei82] を使えば \(S^{\infty }\) と \(\R ^{\infty }\) が同相であることが得られることが述べられているが, これを用いても \(S^{\infty }\) が可縮であることを示すことができる。またそこでは, 同相 \(S^{\infty }\cong \R ^{\infty }\) については Dobrowolski の [Dob78] が参照されている。 また, \(\R ^{\infty }\) をモデルにした多様体については Sakai の本 [Sak20] の Chapter 6 が参照されている。

• \(\R ^{\infty }\) をモデルにした多様体

無限次元多様体の例として重要なものに, loop 空間を始めとした, 有限次元多様体の間の写像の成す空間がある。Pressly と Segal の loop群の本 [PS86] にも書いてはあるが, Stacy の解説 [Sta] が詳しい。Stacey は, [Sta09] で各種 loop空間が smooth manifold の構造を持つための条件を考えている。これらの Stacey の論文によると, Kriegel と Michor の [KM97] が基本的な文献らしい。 Galatius と Madsen と Tillmann と Weiss の cobordism category の分類空間の研究 [Gal+09] でも参照されている。

Loop 群とも関連するが, 無限次元多様体の例として, 無限次元 Grassmann 多様体も重要である。 \(K\) 理論はもちろん, KdV 方程式など様々な場面で使われる。 Abbondandolo と Majer の [AM09] で色々調べられている。

多様体の中の (無限個の場合も含む) 点の configuration space を考えているのが, Albeverio, Kondratiev, Röckner の [AKR98a; AKR98b] である。ただし, 異なる cardinality のものを合せて考えているという点で, どちらかというと, Ran space に近いかもしれない。

\(C^*\)-algebraの視点から, Connes の noncommutative geometry のテクニックを導入することにより, 無限次元の多様体のトポロジーを調べようというのが Dumitrascu と Trout の [DT]である。その Introduction には簡単に有限次元の場合の review があり, それをどのように一般化するか書いてある。 アイデアは, 有限次元の多様体で filtration を入れて, その \(C^*\)-algebra の colimit を考えるというものである。それにより \(K\)-theory を (定義しょう) 調べようというのである。

多様体の定義を, 別の視点から無限次元のものも含むように拡張するという試みもある。

• 多様体の概念の様々な一般化

References

[AKR98a]

S. Albeverio, Yu. G. Kondratiev, and M. Röckner. “Analysis and geometry on configuration spaces”. In: J. Funct. Anal. 154.2 (1998), pp. 444–500. url: http://dx.doi.org/10.1006/jfan.1997.3183.

[AKR98b]

S. Albeverio, Yu. G. Kondratiev, and M. Röckner. “Analysis and geometry on configuration spaces: the Gibbsian case”. In: J. Funct. Anal. 157.1 (1998), pp. 242–291. url: http://dx.doi.org/10.1006/jfan.1997.3215.

[AM09]

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[Dob78]

Tadeusz Dobrowolski. “Extension of Bessaga’s negligibility technique to certain infinite-dimensional groups”. In: Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 26.6 (1978), pp. 535–545.

[DT]

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Søren Galatius, Ulrike Tillmann, Ib Madsen, and Michael Weiss. “The homotopy type of the cobordism category”. In: Acta Math. 202.2 (2009), pp. 195–239. arXiv: math/0605249. url: http://dx.doi.org/10.1007/s11511-009-0036-9.

[Hei82]

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[KM97]

Andreas Kriegl and Peter W. Michor. The convenient setting of global analysis. Vol. 53. Mathematical Surveys and Monographs. Providence, RI: American Mathematical Society, 1997, pp. x+618. isbn: 0-8218-0780-3.

[Lan95]

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[Pal66]

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[PS86]

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[Ram11]

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[Sak20]

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[Sta]

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[Sta09]

Andrew Stacey. “Constructing smooth manifolds of loop spaces”. In: Proc. Lond. Math. Soc. (3) 99.1 (2009), pp. 195–216. arXiv: math/0612096. url: http://dx.doi.org/10.1112/plms/pdn058.