Weak Hopf Algebras

Weak Hopf algebra は, Hopf algebra の product と coproduct の compatibility はそのままで, product が counit を保つ, あるいは coproduct が unit を保つ条件を弱めたものである。Böhm と Nill と Szlachányi の公理化の試み [BS96; Nil; Szl97] の後, 彼等の共著 [BNS99] で公理化された。 Böhm と Caenepeel と Janssen の [BCJ] では, Nikshych と Vainerman の [NV02] が参照されている。

Böhm と Lack と Street の [BLS12] によると, そのような概念が必要とされたのは, subfactor の理論, 3次元多様体の不変量, 低次元 quantum field theory などで, Hopf algebra では扱いきれないものが現われてきたことによるようである。

例としては, 以下のものが挙げられている:

• Hayashi の face algebra [Hay93]
• Yamanouchi の generalized Kac algebra [Yam94]
• Ocneanu の paragroup [Ocn88]
• finite groupoid algebra やその linear dual

Hopf algebra に関することは, Böhm らを中心として, 非常に category theory に近い理論に発展しているが, weak Hopf algebra もその例外ではない。 Böhm と Lack と Street の [BLS12] の目的は, その weak Hopf algebra の理論の cateogry化である。

References

[BCJ]

G. Böhm, S. Caenepeel, and K. Janssen. Weak bialgebras and monoidal categories. arXiv: 1103.2261.

[BLS12]

Gabriella Böhm, Stephen Lack, and Ross Street. “Idempotent splittings, colimit completion, and weak aspects of the theory of monads”. In: J. Pure Appl. Algebra 216.2 (2012), pp. 385–403. arXiv: 1102.4931. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2011.07.003.

[BNS99]

Gabriella Böhm, Florian Nill, and Kornél Szlachányi. “Weak Hopf algebras. I. Integral theory and \(C^*\)-structure”. In: J. Algebra 221.2 (1999), pp. 385–438. arXiv: math/9805116. url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.1999.7984.

[BS96]

Gabriella Böhm and Kornı́l Szlachónyi. “A coassociative \(C^*\)-quantum group with nonintegral dimensions”. In: Lett. Math. Phys. 38.4 (1996), pp. 437–456. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01815526.

[Hay93]

Takahiro Hayashi. “Quantum group symmetry of partition functions of IRF models and its application to Jones’ index theory”. In: Comm. Math. Phys. 157.2 (1993), pp. 331–345. url: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104253942.

[Nil]

Florian Nill. Axioms for Weak Bialgebras. arXiv: math/9805104.

[NV02]

Dmitri Nikshych and Leonid Vainerman. “Finite quantum groupoids and their applications”. In: New directions in Hopf algebras. Vol. 43. Math. Sci. Res. Inst. Publ. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2002, pp. 211–262. arXiv: math/0006057.

[Ocn88]

Adrian Ocneanu. “Quantized groups, string algebras and Galois theory for algebras”. In: Operator algebras and applications, Vol. 2. Vol. 136. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1988, pp. 119–172.

[Szl97]

Kornél Szlachányi. “Weak Hopf algebras”. In: Operator algebras and quantum field theory (Rome, 1996). Int. Press, Cambridge, MA, 1997, pp. 621–632.

[Yam94]

Takehiko Yamanouchi. “Duality for generalized Kac algebras and a characterization of finite groupoid algebras”. In: J. Algebra 163.1 (1994), pp. 9–50. url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.1994.1002.