代数幾何学や有限次代数の表現論など, ホモロジー代数が有用な役割を果してきた分野では, Abelian category から derived
category を作り, その triagulated category としての性質を調べることにより, 様々な情報を得てきた。しかし
model category を知っている人間から見ると, derived category にしてしまわないで, chain complex
のままで考えた方がいいのではないか, と思ってしまう。
それに対する代数の世界での解答の一つが differential graded category (dg category), そしてその一般化である
\(A_{\infty }\)-category である。つまり, triangulated category を作る一歩前の段階として dg category を考えようと言うのである。
そのようなことを考えたものとしては, Bondal と Kapranov の [BK90] が最も有名である。彼等は, homotopy
category が triangulated category になるための dg category に関する条件を考えた。そのような dg category
を 元の triangulated category の dg enhancement という。
Enhanced triangulated category のモデルとしては, 最近は stable \(\infty \)-category もあるが, dg
category から \((\infty ,1)\)-category, そして pretriangulated dg category から stable \(\infty \)-category を作る方法として,
dg nerve がある。
代数幾何学で dg category を使う動機については, [Shk13] の Introduction に簡潔にまとめられている。
数理物理学では, Kontsevich が matrix factorizatioin の dg category を Landau-Ginzburg model
における B-model を記述するのに使うことを提案している。
Dg category を最初に考えたのは G.M. Kelly [Kel65] らしい。このような歴史的なことも含めた dg category
全般については, B. Keller の survey [Kel06] をみるとよい。 Toën の lecture note [Toë11]
もある。
Dg category の間の morphism を考えるときには, homology の同型を誘導するものは invertible
であると思いたい。つまり \[ \bm {A} \larrow {f} \bm {B} \rarrow {g} \bm {C} \] で \(f\) が quasi-equivalence のとき, \(\bm {A}\) から \(\bm {C}\) に morphism があると思いたい。Vologodsky
[Vol10] ではそのようなものは, quasi-functor と呼ばれている。
- dg category の間の dg functor
- dg category の間の quasi-equivalence
- dg category の間の dg quasi-functor
Dg category \(\bm {A}\) の object \(a\) に対し, morphism の集合 \(\bm {A}(a,a)\) は morphism の合成を積として dg algebra
になる。 特に, 唯一つの object を持つ dg category は, dg algebra と同一視できる。 この意味で, dg category は
dg algebra の一般化になっている。 このように (\(k\)-linear) category を “ring with many objects” とみなすのは,
よくやる手である。
この視点からは, dg algebra \(\bm {A}(a,a)\) 上の module は, \(\bm {A}\) から dg module の category への functor \[ F : \bm {A} \longrightarrow \category {dg}(\lMod {k}) \] による \(a\) の像 \(F(a)\)
と同一視できる。これを一般化して dg category の module を定義できる。
- dg category 上の left module と right module
このように, dg algebra に関することは, そのderived category の構成も含め, ほとんど dg category
に一般化することができる。例えば, dg category の module の圏は Frobeinus category になるし,
その homotopy category は triangulated category になる。Homotopy category で
quasi-isomorphism を localize して derived category が定義される。
- dg category の derived category
Karabas と Lee の [KL] では, semifree dg algebra の dg category 版が定義されている。
そして semifree dg category に対し cylinder object を定義することにより, semifree dg category の
homotopy colimit の記述を得ている。
ホモトピーと言えば変形であるが, dg category の object の deformation theory について考えているのは,
Efimov と Lunts と Orlov [ELO09; ELO10; ELO11] である。
Dg category の圏では様々な構成が行なえる。これが triangulated category と 比較したときの dg category
の最大の利点の一つだろう。例えば, triagulated category への 群の作用を考えるときに, dg enhancement
を使っているのは, Sosna の [Sos12] である。
Ringel により Abelian category に対して定義された Hall algebra の構成も, Toën [Toë06] により dg
category に一般化されている。
Tabuada は, dg category よりも, その “topological version”, つまり chain complex の圏を
spectrum の圏に変えたものを考える方が本質的であると考えているようである。Tabuada は spectral category
と呼んでいる。
dg algebra に対しては curved 版があるが, dg category に対しても curved dg category
を考えることができる。Polishchuk と Positselski の [PP12] など。
dg algebra の変種としては, 標数 \(p\) 上の graded algebra で 微分が \(d^p=0\) をみたす \(p\)-dg algebra というものがある。
Elias と Qi [EQ16] では, その many-objectification である \(p\)-dg category が登場する。
Laugwitz と Miemietz の [LM20] では, その \(2\)-category 版が 考えられている。
通常の category の \((\infty ,1)\)-version としては, simplicial category, quasicategory, Segal category,
complete Segal space などのモデルがある。
チェイン複体を simplicial set の線形化と考えると, dg category は simplicial category
の線形化とみなすべきものであり, 他のモデルの dg 版があってしかるべきである。
実際, Gepner と Haugseng [GH15] や Lowen と Mertens [LM] の仕事により, enriched
category の概念は, quasicategory でも考えることができるので, dg quasicategory や linear
quasicategory などを考えることもできる。 Segal category の enriched version は Bacard [Bac;
Bac20] により考えられている。
Segal space の dg 版は, 最近になって Dimitriadis Bermejo の thesis [Dima; Dimb]
で定義された。
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