Structures of Categories of DG Categories

Dg category の category では, 様々な構成ができる。 Monoidal category で enrich された category 一般に対してできる構成は, 当然できる。Pretriangulated dg category は triangulated category の元になっているデータと考えることができるので, triangulated category に対する構成の lift を考えるのは当然である。もちろん, dg category でないとできない構成もある。

まず, monoidal structure であるが, tensor product が定義され, symmetric monoidal category になる。また internal hom も持つ。

• dg category の tensor product
• dg category の internal hom

Strict \(2\)-category, つまり small category の category で enrich された category では, Gray tensor product という構成があるが, その dg category 版を Shoikhet [Sho20] が導入している。 彼は, twisted tensor product という名前を使っているが, あまり良い名前と思えない。捻っているわけではないし, Ed Brown [Bro59] の意味の twisted tensor product とまぎらわしい。

• Shoikhet の twisted tensor product

Triangulated category の Verdier quotient の dg category における類似を考えることは Keller により [Kel99] で始められ, Drinfel\('\)d が [Dri04] で構成を与えた。この Drinfel\('\)d の論文は, self-contained に書かれていて, dg category を手っ取り早く学ぶのにもよい。

• dg category の quotient

Tabuada は [Tab09] で Drinfel\('\)d の dg quotient に inspire さ れて dg category の Postnikov tower などを定義している。

• dg category の Postnikov tower

ホモトピー論的な構成の類似を行なおうとすると, model category の構造が必要になる。 例えば, homotopy pushout については [KL] で考えられている。 Arkhipov と Ørsted [AØ21] は cosimplicial diagram の homotopy limit を考えている。

• dg category の図式の homotopy colimit
• dg category の図式の homotopy limit

Homotopy colimit と言えば, Grothendieck construction であるが, dg category の図式の Grothendieck construction について考えたものは少ない。Asashiba と Pan の [AP] ぐらいだろうか。

• dg category の図式の Grothendieck construction

他にも \((\infty ,1)\)-category と考える手もあるが。

• homotopy theory of dg categories

“Category の category” なので, dg category の category の \(2\)-category の構造を調べるのは自然であるし, 実際 “natural transformation の成す chain complex” を定義することもできる。 しかしながら, Tamarkin [Tam07] によると, それは dg category の category の model structure と相性が良くないらしい。 Drinfel\('\)d も [Dri04] の Appendix V で dg category の \(2\)-category について考察している。

Tamarkin は dg category の間の二つの functor \(F, G : A \to B\) に対し \(F\) から \(G\) への natural transformation の成す complex の “derived version” を定義している。そしてそれにより dg category の category が “homotopy \(2\)-category” になることを示している。そこには colored \(2\)-operad という operad (multicategory) の higher version も登場する。

Tamarkin の構成により得られるものは, Shoikhet の [Sho20] では coherent natural transformation の成す dg module と呼ばれている。 Shoikhet は, 彼の定義した twisted tensor product の間に ajunction があることを示している。

この coherent natural transformation という名前も, 何に関して coherent であるか分からないので良くない名前だと思う。

References

[AØ21]

Sergey Arkhipov and Sebastian Ørsted. “Homotopy limits in the category of dg-categories in terms of \(\mathrm {A}_{\infty }\)-comodules”. In: Eur. J. Math. 7.2 (2021), pp. 671–705. arXiv: 1812 . 03583. url: https://doi.org/10.1007/s40879-020-00439-4.

[AP]

Hideto Asashiba and Shengyong Pan. Characterizations of standard derived equivalences of diagrams of dg categories and their gluings. arXiv: 2201.10760.

[Bro59]

Edgar H. Brown Jr. “Twisted tensor products. I”. In: Ann. of Math. (2) 69 (1959), pp. 223–246. url: https://doi.org/10.2307/1970101.

[Dri04]

Vladimir Drinfeld. “DG quotients of DG categories”. In: J. Algebra 272.2 (2004), pp. 643–691. arXiv: math / 0210114. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2003.05.001.

[Kel99]

Bernhard Keller. “On the cyclic homology of exact categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 136.1 (1999), pp. 1–56. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(97)00152-7.

[KL]

Dogancan Karabas and Sangjin Lee. Homotopy Colimits of DG Categories and Fukaya Categories. arXiv: 2109.03411.

[Sho20]

Boris Shoikhet. “On the twisted tensor product of small dg categories”. In: J. Noncommut. Geom. 14.2 (2020), pp. 789–820. arXiv: 1803.01191. url: https://doi.org/10.4171/jncg/380.

[Tab09]

Gonçalo Tabuada. “Postnikov towers, \(k\)-invariants and obstruction theory for dg categories”. In: J. Algebra 321.12 (2009), pp. 3850–3877. arXiv: 0805.4483. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2009.03.018.

[Tam07]

Dmitry Tamarkin. “What do dg-categories form?” In: Compos. Math. 143.5 (2007), pp. 1335–1358. arXiv: math/0606553. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0010437X07002771.