Algebraic Loops, Quasigroups, and Related Topics

群の一般化として, algebraic loop と呼ばれる構造がある。 どの元を右から掛けることも左から掛けることも全単射になる積を持つものである。

• algebraic loop

単に loop と呼ばれることもあるが, 代数的トポロジーでは, 空間上のループとまぎらわしいので algebraic loop と呼んだ方が良いだろう。Majid ら [KM10] は, ある条件をみたす loop を quasigroup と呼んでいる。 “Quasi-”という接頭辞もよく使われるもので, quasigroup という呼び方はあまり適当だとは思わない。何か良い言葉はないのであろうか。

• quasigroup

一方, Ludkowski [Ludb] は, 左逆元と右逆元を持つものを quasigroup と呼び, 更に両側単位元を持つものを algebraic loop と呼んでいる。

Ludkowski は, 更に associativity が成り立たない度合いを center の元で表せるようなものを metagroup と呼んで調べている。 色々論文を書いているが, 例えば [Luda] では metagroup algebra の cohomology を調べている。動機は Cayley-Dickson algebra のようである。

• metagroup

Algebraic loop や quasigroup は古くから調べられているものであり, 例えば Bruck の本 [Bru58] がある。 Scerbacova と Shcherbacov の [SS16] では, Belousov の [Bel67] や Pflugfelder の [Pfl90] が挙げられている。Chein と Pflugfelder と Smith の [CPS90] もある。 最近でも色々調べられているようで, Cawagas の survey [Caw] などが出ている。 Algebraic loop の圏と regular permutation set の圏が同値であることは, Cara と Kieboom と Vervloet の [CKV12] にある。

代数的トポロジーでは, Hopf空間を値域に持つホモトピー集合の持つ代数的構造として現われる。 また八元数の積も重要な例である。

つまり, algebraic loop や quasigroup は, 群の結合法則を弱めたものであり, どれぐらい群と違うかを知ることが重要である。例えば, 3種類の元の4個の積が結合法則をみたすという条件をつけたものは Moufang loop と呼ばれ, かなり群と近い。Moufang の論文 [Mou35] が元になっている。

• Moufang loop

Chein は, [Che74] で群から Moufang loop を作る方法を発見した。Blok と Gagola [BG14] は, その方法で Coxeter group からできた loop について調べている。Coxeter system と類似の presentation を持つようである。

八元数の中の norm が \(1\) の元全体は, \(7\)次元球面 \(S^{7}\) と同相であり, 八元数の積により Hopf 空間になる。 複素数や四元数の中の norm \(1\) の元は, Lie群そして代数群を成すが, 八元数の積が結合法則をみたさないことから, \(S^7\) は残念ながらLie群にはならない。 Klim と Majid [KM10] は, それを代数群の一般化とみなすために, Hopf algebra の quasigroup (algebraic loop) 版を定義している。

• Hopf quasigroup や Hopf coquasigroup

Brzeziński ら [Brz10; BJ12b] は, Hopf quasigroup 上の module や Hopf quasigroup の作用について考えている。[BJ12a] では, smash product について調べている。

Hopf quasigroup と weak Hopf algebra の共通の一般化である weak Hopf quasigroup という構造も [AFG16] で導入されている。

• weak Hopf quasigroup

(可換)環の \(0\) でない元が全て可逆なものが体であるが, 和と積を持つ集合で, \(0\)でない元が algebraic loop を成すものを quasifield と呼ぶらしい。Nagy の [Nag14] などで登場する。

• quasifield

Quandle とも関係がある。J.D.H. Smith [Smi92] が2つの関係を見つけている。Elhamdadi [Elh14] による quasigroup と quandle に関する survey もある。

J.D.H. Smith は [Smi16] で, symmetric monoidal category での一般化を定義している。彼は, quantum quasigroup や quantum loop と呼んでいるが, quasigroup object や algebraic loop object と呼ぶべきだろう。

• quantum quasigroup と quantum loop

一般化としては, 入力を複数にしたものもある。 Krotov と Potapov の [PK12] や Taranenko の [Tar18] などで調べられている。 Niebrzydowski [Nie] は入力3つの quasigroup (ternary quasigroup) が link の不変量を構成するのに使える, と言っている。

• \(n\)-ary quasigroup

References

[AFG16]

J. N. Alonso Álvarez, J. M. Fernández Vilaboa, and R. González Rodrı́guez. “Weak Hopf quasigroups”. In: Asian J. Math. 20.4 (2016), pp. 665–693. arXiv: 1410.2180. url: https://doi.org/10.4310/AJM.2016.v20.n4.a4.

[Bel67]

V. D. Belousov. Osnovy teorii kvazigrupp i lup. Izdat. “Nauka”, Moscow, 1967, p. 223.

[BG14]

Rieuwert J. Blok and Stephen M. Gagola III. “Coxeter-Chein loops”. In: Comm. Algebra 42.5 (2014), pp. 2254–2268. arXiv: 1110.6390. url: https://doi.org/10.1080/00927872.2012.753605.

[BJ12a]

Tomasz Brzeziński and Zhengming Jiao. “\(R\)-smash products of Hopf quasigroups”. In: Arab. J. Math. (Springer) 1.1 (2012), pp. 39–46. arXiv: 1010.1656. url: https://doi.org/10.1007/s40065-012-0020-7.

[BJ12b]

Tomasz Brzeziński and Zhengming Jiao. “Actions of Hopf quasigroups”. In: Comm. Algebra 40.2 (2012), pp. 681–696. arXiv: 1005.2496. url: https://doi.org/10.1080/00927872.2010.535588.

[Bru58]

Richard Hubert Bruck. A survey of binary systems. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Neue Folge, Heft 20. Reihe: Gruppentheorie. Berlin: Springer Verlag, 1958, pp. viii+185.

[Brz10]

Tomasz Brzeziński. “Hopf modules and the fundamental theorem for Hopf (co)quasigroups”. In: Int. Electron. J. Algebra 8 (2010), pp. 114–128. arXiv: 0912.3452.

[Caw]

Raoul E. Cawagas. Introduction: Non-Associative Finite Invertible Loops. arXiv: 0907.5059.

[Che74]

Orin Chein. “Moufang loops of small order. I”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 188 (1974), pp. 31–51.

[CKV12]

Philippe Cara, Rudger Kieboom, and Tina Vervloet. “A categorical approach to loops, neardomains and nearfields”. In: Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 19.5 (2012), pp. 847–859. arXiv: 1207.3600. url: https://doi.org/10.36045/bbms/1354031553.

[CPS90]

O. Chein, H. O. Pflugfelder, and J. D. H. Smith, eds. Quasigroups and loops: theory and applications. Vol. 8. Sigma Series in Pure Mathematics. Heldermann Verlag, Berlin, 1990, pp. xii+568. isbn: 3-88538-008-0.

[Elh14]

Mohamed Elhamdadi. “Distributivity in quandles and quasigroups”. In: Algebra, geometry and mathematical physics. Vol. 85. Springer Proc. Math. Stat. Springer, Heidelberg, 2014, pp. 325–340. arXiv: 1209 . 6518. url: https://doi.org/10.1007/978-3-642-55361-5_19.

[KM10]

J. Klim and S. Majid. “Hopf quasigroups and the algebraic 7-sphere”. In: J. Algebra 323.11 (2010), pp. 3067–3110. arXiv: 0906.5026. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2010.03.011.

[Luda]

Sergey V. Ludkowski. Cohomologies of nonassociative metagroup algebras. arXiv: 1706.09836.

[Ludb]

Sergey Victor Ludkowski. On structure of topological metagroups. arXiv: 2110.15308.

[Mou35]

Ruth Moufang. “Zur Struktur von Alternativkörpern”. In: Math. Ann. 110.1 (1935), pp. 416–430. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01448037.

[Nag14]

Gábor P. Nagy. “Linear groups as right multiplication groups of quasifields”. In: Des. Codes Cryptogr. 72.1 (2014), pp. 153–164. arXiv: 1210.1652. url: https://doi.org/10.1007/s10623-013-9860-1.

[Nie]

Maciej Niebrzydowski. Ternary quasigroups in knot theory. arXiv: 1708.05330.

[Pfl90]

Hala O. Pflugfelder. Quasigroups and loops: introduction. Vol. 7. Sigma Series in Pure Mathematics. Heldermann Verlag, Berlin, 1990, pp. viii+147. isbn: 3-88538-007-2.

[PK12]

V. N. Potapov and D. S. Krotov. “On the number of \(n\)-ary quasigroups of finite order”. In: Diskret. Mat. 24.1 (2012), pp. 60–69. arXiv: 0912.5453.

[Smi16]

J. D. H. Smith. “Quantum quasigroups and loops”. In: J. Algebra 456 (2016), pp. 46–75. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2016.02.014.

[Smi92]

Jonathan D. H. Smith. “Quasigroups and quandles”. In: vol. 109. 1-3. Algebraic graph theory (Leibnitz, 1989). 1992, pp. 277–282. url: https://doi.org/10.1016/0012-365X(92)90297-S.

[SS16]

Alexandra V. Scerbacova and Victor A. Shcherbacov. “About spectrum of \(T_2\)-quasigroups”. In: Proceedings MFOI-2016—Conference on Mathematical Foundations of Informatics. Acad. Sci. Moldova, Inst. Math. Comput. Sci., Chişinău, 2016, pp. 307–320. arXiv: 1509. 00796.

[Tar18]

A. A. Taranenko. “Transversals in completely reducible multiary quasigroups and in multiary quasigroups of order 4”. In: Discrete Math. 341.2 (2018), pp. 405–420. arXiv: 1612 . 01797. url: https://doi.org/10.1016/j.disc.2017.09.008.