Bimonads and Hopf Monads

Mesablishvili と Wisbauer [MW12] によると, 最初に Hopf monad という名前を使ったのは, Moerdijk [Moe02] らしいが, Moerdijk の定義したものは, 現在では opmonoidal monad とか bimonad とか呼ばれているようである。 ここでは bimonad と呼ぶことにしよう。

• bimonad

現在 Hopf monadと呼ばれているものは, Bruguières と Virelizier [BV07] により autonomous category 上で定義されたものが元になっている。その後, Lack と共に [BLV11] で, 一般の monoidal category で Hopf monad を定義することに成功している。

• monoidal category での Hopf monad

Bruguières と Virelizier [BV07] や Mesablishvili と Wisbauer [MW12] が言っているように, Hopf algebra に関し成り立つ様々なことが, Hopf monad にうまく一般化できるようである。 その後, 他にも様々な人が Hopf algebra の定理を Hopf monad に一般化しようとしている。例えば Aguiar とChase [AC12] など。

更に, より一般的な文脈での定義も考えられている。例えば, Böhm と Lack の [BL16] では, monoidal bicategory での Frobenius map-monoidale という構造の上での monoidal comonad の antipode について議論されている。彼らによると, 更に一般的な duoidal category での Hopf monad の定義はまだ発見されていないようである。

References

[AC12]

Marcelo Aguiar and Stephen U. Chase. “Generalized Hopf modules for bimonads”. In: Theory Appl. Categ. 27 (2012), pp. 263–326. arXiv: 1212.3539.

[BL16]

Gabriella Böhm and Stephen Lack. “Hopf comonads on naturally Frobenius map-monoidales”. In: J. Pure Appl. Algebra 220.6 (2016), pp. 2177–2213. arXiv: 1411.5788. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2015.11.002.

[BLV11]

Alain Bruguières, Steve Lack, and Alexis Virelizier. “Hopf monads on monoidal categories”. In: Adv. Math. 227.2 (2011), pp. 745–800. arXiv: 1003.1920. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2011.02.008.

[BV07]

Alain Bruguières and Alexis Virelizier. “Hopf monads”. In: Adv. Math. 215.2 (2007), pp. 679–733. arXiv: math/0604180. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2007.04.011.

[Moe02]

I. Moerdijk. “Monads on tensor categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 168.2-3 (2002). Category theory 1999 (Coimbra), pp. 189–208. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(01)00096-2.

[MW12]

Bachuki Mesablishvili and Robert Wisbauer. “Notes on bimonads and Hopf monads”. In: Theory Appl. Categ. 26 (2012), No. 10, 281–303. arXiv: 1010.3628.