位相空間のK理論の変種

位相空間の\(K\)理論の変種は, 様々なものが定義されている。 まず, \(K\) 理論の周期性に着目し, 安定ホモトピー論でのより高次の周期性に対応するものとして, \(v_n\)-periodic な cohomology theory が考えられる。

• 安定ホモトピー論における周期性を調べ る道具

より幾何学的な構成を持つものも多いが, 最近では 数理物理に使われているものが多い。 物理に起源を持つものもある。 例えば, 以下のようなものである。

• self-conjugate \(K\)-theory
• Atiyah の \(KR\)-theory [Ati66]
• Segal の equivariant \(K\)-theory
• Kitchloo の dominant \(K\)-theory [Kit09]
• \(K_{\pm }\) と \(\mathrm{KO}_{\pm }\)
• twisted \(K\)-theory
• orbifold の \(K\)-theory
• orbifold の twisted \(K\)-theory
• gauge-equivariant \(K\)-theory [NT04; NT06]
• differential \(K\)-theory あるいは smooth \(K\)-theory

Gomi の [Gom15] によると, \(K_{\pm }\) は, Witten の [Wit98] で導入されたもののようである。Atiyah と Hopkins の [AH04] も見るとよい。

\(\mathrm{KO}\)-theory と complex \(K\)-theory と self-conjugate \(K\)-theory を統合したものとして united \(K\)-theory というものもある。Bousfield により定義されたものである。Bousfield は, [Bou08] では, self-conjugate \(K\)-theory の部分が無いものを考えている。

• united \(K\)-theory
• \(CRT\)-module

\(CRT\)-module というのは, Bousfield が [Bou90]で定義した, united \(K\)-theory functor の値域として考えるべきものである。

底空間が smooth manifold の時, flat connection を持つ smooth vector bundle から作られる flat \(K\)-theory というものもある。Berthomieu の [Ber] には, flat \(K\)-theory の他にも relative \(K\)-theory や transgressive \(K\)-theory と言った変種が書いてある。

Adem らは, [AC07; ACT12] などの Lie 群の中の commuting elements の成す空間の研究を元に, Bott periodicity space に infinite loop space としての filtration を定義した。\((q+1)\) 番目が表現する cohomology theory は, [Ade+17] で \(q\)-nilpotent \(K\)-theory と呼ばれている。 最初のもの, つまり \(2\)-nilpotent \(K\)-theoryは, Adem とGómez が [AG15] で導入した commutative \(K\)-theory に一致している。

• commutative \(K\)-theory
• \(q\)-nilpotent \(K\)-theory

Commutative \(K\)-theory spectrum は, Gritschacher [Gri] により調べられている。

\(C^*\)-algebra の視点から, Emerson と Meyer は [EM09] で representable \(K\)-theory という groupoid equivariant \(KK\)-theory で定義された変種を考えている。Locally compact space の場合は, vector bundle から定義されるのは, representable \(K\)-theory の元であり, \(C^*\)-algebra を用いた \(K\)-theory の元ではないと言っている。

• representable \(K\)-theory

Emerson と Meyer は, equivariant representable \(K\)-theory がある種の Fredholm operator の空間への homotopy 集合として表現できることを示している。

Bounded cohomology の \(K\)-theory 版を考えている人もいる。Fowler と Ogle の [FO] である。

\(C^*\)-algebra の \(K\)-theory は, 位相空間の \(K\)-theory の非可換空間への拡張とみなすことができる。 ところが, 非可換空間のモデルとしては, 他にも様々な提案がされている。 代数幾何学の視点からは, dg category や \(A_{\infty }\)-category を非可換空間のモデルとする提案がされているが, それらに対し位相空間の \(K\)-theory を拡張しようという試みもなされている。Anthony Blanc の [Bla16] など。

• dg category の topological \(K\)-theory

References

[AC07]

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[ACT12]

Alejandro Adem, Frederick R. Cohen, and Enrique Torres Giese. “Commuting elements, simplicial spaces and filtrations of classifying spaces”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 152.1 (2012), pp. 91–114. arXiv: 0901.0137. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004111000570.

[Ade+17]

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[AG15]

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[Ati66]

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Anthony Blanc. “Topological K-theory of complex noncommutative spaces”. In: Compos. Math. 152.3 (2016), pp. 489–555. arXiv: 1211.7360. url: https://doi.org/10.1112/S0010437X15007617.

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[Gri]

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[Wit98]

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