Kasparov の KK-theory などの bivariant K-theory

Kasparov の \(KK\)-theory とは, \(C^*\)-algebra に対し定義される \(K\)-homology と \(K\)-cohomology を一つにしたような2変数の functor である。 このような bivariant \(K\)-theory には, 様々な構成方法が知られている。 また, 同じ群を与える場合もあるしそうでない場合もある。 nLab の \(KK\)-theory のページには, 最後に多くの文献が挙げられているので, 参考になる。

Kandelaki の [Kana] の Introduction にこれまで知られている構成についてまとめられている。 そこに挙げられているのは以下のものである。

• Kasparov による \(C^*\)-algebra extension としての構成 [Kas80]
• Cuntz の [Cun87]
• Higson の [Hig87]
• Pedersen と Weibel の [PW89] に基づいた Rosenberg の [Ros90]
• Higson と Pedersen と Roe の [HPR97]
• Houghton-Larsen と Thomsen の [HT99]
• Mitchener の [Mit02]
• Kandelaki の [Kan00; Kanb]

\(C^*\)-algebra が共に位相空間の \(C^*\)-algebra の場合は, Connes と Skandalis による Baum-Douglas \(K\)-homology の拡張としての解釈がある。また connective version は Segal の K-homology の拡張として Dadarlat と Nemethi [DN90] により構成されている。

Gresing [Gre] によると, locally convex algebra に対しては, Cuntz の [Cun97; Cun05] で構成されたものがある。

Emerson と Meyer の [EM10a] によると, Connes と Skandalis の解釈の equivariant version も [BB90] や Raven の thesis [Rav04] などで考えられているようである。 Emerson と Meyer のものはそれらを改良し, 更に \(K\)-theory 以外のコホモジーについても使えるようになっている。

• equivariant \(KK\)-theory
• Emerson と Meyer の equivariant bivariant topological \(K\)-theory

Baum-Douglas \(K\)-homology の cycle は bordism を用いて定義されているので, \(C^*\)-algebra の世界でも bordism の概念を導入することが考えられている。 Deeley と Goffeng と Mesland [DGM] は, Hilsum [Hil02; Hil10] により unbounded \(KK\)-cycle に対して定義された bordism relation から定義される bivariant bordism 群を調べ, その \(KK\)-theory や Baum-Douglas \(K\)-homology との関係を得ている。

他の variation としては, Connes と Higson [CH90] の \(E\)-theory や Inassaridze と Kandelaki の [IK] で定義されている equivariant torsion \(KK\)-theory, そして Dumitrascu の thesis [Dum01] で導入された \(KE\)-theory がある。

• \(E\)-theory
• \(KE\)-theory

その名前から分かるように, Kasparovの \(KK\)-theory と Connes-Higson の \(E\)-theory の中間に位置するものとして定義されたようである。 それらの equivariant version もある。 Meyer の [Mey16] では, 局所コンパクト群 \(G\) に対し \(KE^{G}\) は \(KK^{G}\) を直和成分として含むことが示されている。

Duality についても考えられている。Emerson と Meyer の [EM10b] など。 これらについての解説として, Emerson の [Eme11] がある。

\(C^*\)-algebra を object とし \(KK\)-theory を2つの object の間の morphism の集合とすると, Abelian 群の category で enrich された category ができる。これを Kasparov category という。

• Kasparov category

Meyer と Nest の [MN06] で triangulated category になることが示されている。

\(KK\)-theory に関する普遍係数定理は, Rosenberg と Schochet の [RS87] で考えられている。 その拡張も色々考えられているが, どのような場合に成り立つかについては, Willett と Yu の [WY] の §1.1 を見るとよい。

References

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