Real-oriented Cohomology Theories

複素ベクトル束は, 複素共役による \(\Z _2\) の作用を持つ。底空間も \(\Z _2\) 作用を持つとき, その間の compatibility を考えるのは自然である。 そのアイデアは, Atiyah [Ati66] により Real \(K\)-theory として実現された。

• Atiyah の Real \(K\)-theoy (\(KR\)-theory)

\(KR\)-theory については, Karoubi が[Kar01; Kar02] などで考察している。

Lie群や homogeneous space の \(KR\)-theory の計算は, Seymour [Sey73] が既に70年代前半に行なっている。 最近では, Fok [Fok14] が compact Lie 群 \(G\) の \(G\)-equivariant \(KR\)-theory を調べている。

• equivariant \(KR\)-theory

\(KR\)-theory の twisted 版もある。Hekmati, Murray, Szabo, Vozzo [Hek+19] が bundle gerbe の Real版を用いて構成できることを示している。

より一般の Real-oriented cohomology theory については, Landweber [Lan68] や Araki と Murayama [AM78] が考えている。

• Real-oriented spectrum

例としては, Real-oriented complex cobordism やそこから派生する spectrum がある。Hu と Kriz の [HK01], Kitchloo と Wilson の [KW07; KW08a; KW08b], Banerjee の [Ban13] など。

• Real-complex cobordism \(\mathrm {MU}\R \) ([Lan68])
• Real-Brown-Peterson spectrum \(\mathrm {BP}\R \)
• Real truncated Brown-Peterson spectrum \(\mathrm {BP}\R \langle n\rangle \)
• Real-Jonshon-Wilson spectrum \(E\R (n)\)
• Real Morava \(K\)-theory ([HK01])
• Real Lubin-Tate theory (Shi らの [HS20; HLS21])

他にも topological modular form について考えている人 [HM17] もいる。

これらを用いた Adams-Novikov spectral sequence の類似もある。Huと Kriz の [HK01] にある。

Banerjee [Ban14] は \(E\R (2)\) の \(\Z _2\)-action に関する homotopy fixed point spectrum \(E\R (2)\) の別の構成を得ている。

Kitchloo とWilson [KW15] は \(E\R (n)^*(BO(q))\) を計算している。

Kitchloo と Lorman と Wilson の [KLW17] では, \(E(n)\)-cohomology から \(E\R (n)\)-cohomology が形式的な議論で得られるのはどのような場合か, が考えられている。 彼等は, [KLW18] では, \(E\R (n)\) の積構造を調べている。

Greenlees と Meier [GM17] は, \(\mathrm {BP}\R \langle n\rangle \) や \(E\R (n)\) の Anderson dual を調べている。

Dotto の thesis [Dot] によると, Real \(K\)-theory の algebraic \(K\)-theory 版も Hesselholt と Madsen により考えられているようである。 その原稿が このページから download できる。 Høgenhaven [Høg] によると, topological Hochschild homology の Real版も導入されているらしい。 Høgenhaven は, topological cyclic homology の Real版を考えている。

• Real algebraic \(K\)-theory
• Real topological Hochschild homology
• Real topological cyclic homology

Real structure を位数\(2\)の巡回群の作用に関することと考え, より一般の巡回群に拡張することも考えられている。 奇素数次の巡回群の場合は, Hahn らの [HSW23] がある。

References

[AM78]

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[Ati66]

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[Ban13]

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[Ban14]

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[Dot]

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[Sey73]

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