Bott Periodicity

Bott 周期性は, 元々は, Bott [Bot59] が発見した古典型 Lie 群の ホモトピー群の周期性のことを意味していた。 現在でもその意味で使うことは多い。

空間レベルで考えると, ホモトピー群の次数をずらすことは, ループ空間を取ることに対応するので, 「ループ空間を何回か取ると元の空間とホモトピー同値になる」という意味で考える方が良い。

何回ループを取るかは, 実数と複素数の場合で異なる。

• 複素数版の Bott の周期性: つまり, \[ \Omega U \simeq \Z \times \mathrm {BU} \]
• 実数版の Bott の周期性: つまり, \[ \begin {split} \Omega \mathrm {SO} & \simeq O/U \\ \Omega (\mathrm {SO}/U) & \simeq U/\mathrm {Sp} \\ \Omega (U/\mathrm {Sp}) & \simeq \Z \times B\mathrm {Sp} \\ \Omega B\mathrm {Sp} & \simeq \mathrm {Sp} \\ \Omega \mathrm {Sp} & \simeq \mathrm {Sp}/U \\ \Omega (\mathrm {Sp}/U) & \simeq U/\mathrm {SO} \\ \Omega (U/\mathrm {SO}) & \simeq \Z \times \mathrm {BO} \\ \Omega \mathrm {BO} & \simeq O \end {split} \]

もちろん, 周期性があるというだけでなく, そのホモトピー群の決定も Bott の重要な仕事であり, それも含めて Bott 周期性と言う場合が多い。

• \(U\)のホモトピー群 \[ \pi _i(U)\cong \begin {cases} 0, & i=0,2,4,\cdots \\ \Z , & i=1,3,5,\cdots \end {cases} \]
• \(O\)のホモトピー群 \[ \pi _i(O) \cong \begin {cases} \Z /2\Z , & i=0, 8, 16, \cdots \\ \Z /2\Z , & i=1, 9, 17, \cdots \\ 0, & i=2, 10, 18, \cdots \\ \Z , & i=3, 11, 19, \cdots \\ 0, & i=4, 12, 20, \cdots \\ 0, & i=5, 13, 21, \cdots \\ 0, & i=6, 14, 22, \cdots \\ \Z , & i=7, 15, 23, \cdots \end {cases} \]

\(U\) の場合は簡単に憶えられるが, \(O\) の場合はちょっと面倒である。 これについては, 私の師匠の Fred Cohen 先生が「キラキラ星」のメロディーで 「zee two, zee two, zero, zee, zero, zero, zero, zee」 と歌っていたのを思い出す。Sullivan の [Sul05] の最後に, 娘さん達が小さいときに歌っていたということが書いてあるが, 多分その歌なのだろう。

\(\mathrm {BO}\) の ホモトピー群の計算方法は色々あるが, 例えば, Adams spectral sequence の練習問題として行うことができる。Ravenel の本 [Rav86] にその計算が書いてある。

Bott 周期性については, 様々な人が証明が考えてきた。 最近でもまだ新しい証明が発表されている。例えば, Aguilar と Prieto の [AP99] や Behrens によるその実数版 [Beh02] などである。

一つの理由は, Bott周期性に表れる空間に様々な見方があることである。 例えば \(U/\mathrm {SO}\) は, Eidam と Piccione の [EP; EP06] では, symplectic structure を持つ無限次元 separable Hilbert space のある種の Lagrangian subspace の成す Banach manifold として解釈されている。また, この手の無限次元 Grassmann 多様体については, [AM09] で詳しく調べられている。このような表示の最初は, Atiyah [Ati67] と Jänich [Jän65] による \(\mathrm {BU}\times \Z \) の Fredholm operator の成す空間による表示 \[ \mathrm {BU}\times \Z \simeq \mathrm {Fred}(H) \] だろうか。\(U\) については, Atiyah と Singer の [AS69] がある。

Bott 周期性と Clifford algebra 上の module の周期性の関係は, Atiyah と Bott と Shapiro の [ABS64] で発見された。その conceptual explanation を求めているのが, この MathOverflow の質問である。 その中で, Rezk が Weiss の orthogonal calculus の derivative を用いた解釈を与えていて興味深い。

また, Baez が一連の blog post [Cafa; Cafb; Cafc] の中で議論している。

思いがけないところに Bott periodicity が登場する例としては, 物性理論での topological insulator や topological superconductor の分類などがある。

References

[ABS64]

M. F. Atiyah, R. Bott, and A. Shapiro. “Clifford modules”. In: Topology 3.suppl, suppl. 1 (1964), pp. 3–38. url: https://doi.org/10.1016/0040-9383(64)90003-5.

[AM09]

Alberto Abbondandolo and Pietro Majer. “Infinite dimensional Grassmannians”. In: J. Operator Theory 61.1 (2009), pp. 19–62. arXiv: math/0307192.

[AP99]

M. A. Aguilar and Carlos Prieto. “Quasifibrations and Bott periodicity”. In: Topology Appl. 98.1-3 (1999). II Iberoamerican Conference on Topology and its Applications (Morelia, 1997), pp. 3–17. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0166-8641(99)00041-3.

[AS69]

M. F. Atiyah and I. M. Singer. “Index theory for skew-adjoint Fredholm operators”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 37 (1969), pp. 5–26. url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1969__37__5_0.

[Ati67]

M. F. Atiyah. \(K\)-theory. Lecture notes by D. W. Anderson. W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1967, p. v 166 xlix.

[Beh02]

Mark J. Behrens. “A new proof of the Bott periodicity theorem”. In: Topology Appl. 119.2 (2002), pp. 167–183. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0166-8641(01)00060-8.

[Bot59]

Raoul Bott. “The stable homotopy of the classical groups”. In: Ann. of Math. (2) 70 (1959), pp. 313–337. url: https://doi.org/10.2307/1970106.

[Cafa]

The \(n\)-Category Café. The Ten-Fold Way (Part 6). url: https://golem.ph.utexas.edu/category/2023/01/the_tenfold_way_part_6_1.html.

[Cafb]

The \(n\)-Category Café. The Ten-Fold Way (Part 7). url: https://golem.ph.utexas.edu/category/2023/01/the_tenfold_way_part_6.html.

[Cafc]

The \(n\)-Category Café. The Ten-Fold Way (Part 8). url: https://golem.ph.utexas.edu/category/2023/01/the_tenfold_way_part_8.html.

[EP]

José Carlos Corrêa Eidam and Paolo Piccione. On the Homotopy Type of the Fredholm Lagrangian Grassmannian. arXiv: math/0502480.

[EP06]

J. C. C. Eidam and P. Piccione. “The essential Lagrangian-Grassmannian and the homotopy type of the Fredholm Lagrangian-Grassmannian”. In: Topology Appl. 153.15 (2006), pp. 2782–2787. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2005.11.010.

[Jän65]

Klaus Jänich. “Vektorraumbündel und der Raum der Fredholm-Operatoren”. In: Math. Ann. 161 (1965), pp. 129–142. url: https://doi.org/10.1007/BF01360851.

[Rav86]

Douglas C. Ravenel. Complex cobordism and stable homotopy groups of spheres. Vol. 121. Pure and Applied Mathematics. Orlando, FL: Academic Press Inc., 1986, pp. xx+413. isbn: 0-12-583430-6; 0-12-583431-4.

[Sul05]

Dennis Sullivan. “A stratified rational homology manifold version of the Atiyah-Bott fixed point theorem”. In: J. Differential Geom. 70.2 (2005), pp. 325–328. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1143642933.