Equivariant K-theory

Equivariant \(K\)-theory は, Segal の [Seg68] で定義された。 群の作用を持つ空間に対する \(K\)理論の拡張である。その Introduction によると, 元々のアイデアは Atiyah に依るものらしいが。よって Atiyah と Segal の [AS69] も基本的な文献である。

Segal の論文は, 位相空間の \(K\)理論と比較しつつその性質を調べている。

• equivariant vector bundle
• 位相群 \(G\) の作用を持つ空間 \(X\) に対し, \(K_G(X)\) の定義
• \(X\) が一点のとき \(K_G(X) \cong R(G)\)

Equivariant \(K\)-theory の面白さそして重要性は, この表現論との関係である。

Atiyah は [Ati61] で, 有限群 \(G\) に対し, その分類空間の \(K\)-theory \(K(BG)\) が \(G\) の representation ring \(R(G)\) の augmentation ideal に関する completion と同型であることを証明した。その結果を compact Lie 群に拡張するために, equivariant \(K\)-theory が有効であることを示したのが, Atiyah と Segal の [AS69] である。

• Atiyah-Segal completion theorem

Künneth theorem (Künneth spectral sequence) については, Rosenberg の [Ros13] の Introduction と, そこに挙げられている文献を見ると現状が分かる。それによると, Hodgkin [Hod75] により Künneth spectral sequence は構成されてはいるが, その収束性に問題があるため, まだまだ考えることはあるようである。

群 \(G\) が \(X\) に作用するときに, \(X^n\) には wreath product \(\Sigma _n\wr G\) が作用する。\(X^n\) の \(\Sigma _n\wr G\)-equivariant \(K\)-theory を調べているのは, Weiqiang Wang [Wan00; Wan03] である。 その元になっているのは, Segal による \(K_{\Sigma _n}(X^n)\) に関する結果のようであるが。 Wang は, 系として orbifold Euler characteristic を計算している。

• 有限群 \(G\) と \(G\)-space \(X\) に対し \[ \mathcal {F}_G(X) = \bigoplus _{n} K_{\Sigma _n\wr G}(X^n)\otimes \bbC \] は, 自然な Hopf algebra の構造を持つ。
• \(\mathcal {F}_G(X)\) は \(K_G(X)\otimes \bbC \) で生成された free \(\lambda \)-ring である。
• \(\mathcal {F}_G(X)\) は, 無限次元 Heisenberg algebra の Fock space になっている。

Heisenberg algebra は, Nakajima の Hilbert scheme の研究 [Nak97] にも現れる。 その関係を説明しようという試みが, [Wan] である。McKay correspondence もあり興味深い。 他のコホモロジー論や \(\bbC \) を tensor する前の構造, そして空間レベルの構造なども調べると面白そうである。

Connective \(K\)-theory の equivariant 版については, Greenlees の [Gre99] がある。

Twisted \(K\)-theory の equivariant version も考えられている。Freed と Hopkins と Teleman の [FHT08; FHT11; FHT13] など。 Atiyah-Segal completion theorem の類似も [Lah12] で考えられている。

• twisted equivariant \(K\)-theory

Kichloo は, Kac-Moody group などのようなコンパクトではない群を扱うために, dominant \(K\)-group を [Kit09] で定義している。

コンパクトではない群については, いくつか試みがある。Phillips の [Phi89] は, \(C^*\)-algebra を用いたものである。空 間レベルでの構 成としては, Pazzis の [Seg] がある。当然, 作用は proper なものを考えないといけないが。

Groupoid に関し equivariant なものを考えるためには, \(C^*\)-algebraを用いるのが一番良いのだろうか。 Emerson と Meyer の [EM09] など。彼等の仕事については, Emerson の解説 [Eme11] がある。

• equivariant representable \(K\)-theory

彼等は groupoid-equivariant vector bundle やその同型類の Grothendieck group としてできる equivariant \(K\)-theory も考えているが, 一般には \(C^*\)-algebra を用いて定義したものとは同型にならないようである。

Differential (smooth) version は, Ortiz が thesis [Ort] で考えている。 更に, それの twisted version もある。Sati と Schreiber の [SSa; SSb] など。

• differential equivariant \(K\)-theory

\(G=\Z _2\) の場合は, 複素共役を考慮した Real version がある。

• Real \(K\)-theory

References

[AS69]

M. F. Atiyah and G. B. Segal. “Equivariant \(K\)-theory and completion”. In: J. Differential Geometry 3 (1969), pp. 1–18. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214428815.

[Ati61]

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[EM09]

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[Eme11]

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[FHT08]

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[FHT11]

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[FHT13]

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[Gre99]

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[Ort]

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[Phi89]

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[SSb]

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