ホモトピー群とホモトピー集合

ホモトピー群は, 1935年頃 Hurewicz により導入された, らしい。 その定義は難しくないが, 具体的にホモトピー群を決定することは一般に非常に困難なことである。

• 連続写像とホモトピー
• 基本群
• ホモトピー群
• ホモトピー作用素
• group of self-homotopy equivalences

Fox は, [Fox45; Fox48] で torus からの mapping space \(\mathrm {Map}(T^{n-1},X)\) の基本群として, torus homotopy group というものを導入している。あまり一般的ではないが, Whitehead product と基本群の高次ホモトピー群への作用を統一的に扱うために考えられたようである。

• torus homotopy group

ホモトピー群は, 球面あるいは球体を基準に考えた不変量であり, CW複体の世界では重要な意味を持つが, CW複体のホモトピー型を持たないような変な空間については別の枠組みを考えた方がよい。例えば, Steenrod homotopy [Mel09] という世界がある。

矢印の向きを変え, 球面への写像のホモトピー類の集合として cohomotopy set を考えるときもある。ホモトピー論以外でも, Kirby と Melvin と Teichner の [KMT12] などで考えられている。彼等は, 4次元多様体から \(S^3\) へのホモトピー集合を考えている。 また, 4次元多様体との関係では, Bauer と Furuta [BF04] の stable cohomotopy 不変量もある。

写像を連続なものに制限するのも, ある意味不自然であり, 連続とは限らない写像のなす空間を考えている人もいる。

References

[BF04]

Stefan Bauer and Mikio Furuta. “A stable cohomotopy refinement of Seiberg-Witten invariants. I”. In: Invent. Math. 155.1 (2004), pp. 1–19. arXiv: math/0204340. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-003-0288-5.

[Fox45]

Ralph H. Fox. “Torus homotopy groups”. In: Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 31 (1945), pp. 71–74.

[Fox48]

Ralph H. Fox. “Homotopy groups and torus homotopy groups”. In: Ann. of Math. (2) 49 (1948), pp. 471–510. url: https://doi.org/10.2307/1969292.

[KMT12]

Robion Kirby, Paul Melvin, and Peter Teichner. “Cohomotopy sets of 4-manifolds”. In: Proceedings of the Freedman Fest. Vol. 18. Geom. Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2012, pp. 161–190. arXiv: 1203.1608. url: https://doi.org/10.2140/gtm.2012.18.161.

[Mel09]

S. A. Melikhov. “Steenrod homotopy”. In: Uspekhi Mat. Nauk 64.3(387) (2009), pp. 73–166. arXiv: 0812.1407. url: https://doi.org/10.1070/RM2009v064n03ABEH004620.