スペクトラムの圏での構成

EKMM spectrum (\(S\)-module) や symmetric spectrum などの symmetric monoidal category を成す spectrum の圏の登場により, 様々な 代数的構成が, spectrum のレベルで行なえるようになったことは, 画期的なことである。特に, 可換な \(S\)-algebra は, 可換環の類似, あるいは一般化とみなすことができ, 「スペクトラムの可換環論」を行なうことができるようになった。 それについては, Greenleesの [Gre07b; Gre07a] などの解説がある。

• \(S\)-module \(X\) に対し, \(X\) で生成された free associative algebra \(\mathbb{T}(X)\) と free commutative algebra \(\mathbb{P}(X)\) [Elm+97, pp. 39–40]
• \(S\)-algebra \(R\) と \(S\)-module \(X\) に対し, \(X\) で生成された free \(R\)-module \(\mathbb{F}_R(X)\) [Elm+97, pp. 51–54]

“Polynomial functor” は, Goodwillie calculus の基礎となる概念であり, Goodwillie calculus の有用性を知っていれば上の free commutative algebra functor \(\mathbb{P}\) を用いて spectrum の圏を調べようというのは, 自然なアイデアである。実際, Kuhn による Goodwillie calculus と stable chromatic phenomena の関係の研究で用いられている。

• 複素コボルディズムの係数環 \(\mathrm{MU}_*\)の regular sequence \(X\) と任意の列 \(Y\) に対し, \(\mathrm{MU}\)-ring spectrum \(\left (\mathrm{MU}/(X)\right )[Y^{-1}]\) の構成。同様の構成が, Brown-Peterson スペクトラム \(\mathrm{BP}\) についてもできる。 [Elm+97, pp. 101–102]

古典的には, Baas-Sullivan construction で同様のスペクトラムを作るが, その方法だとできたスペクトラムの構造, 例えば ring spectrum であるということ, を調べるのが面倒である。EKMM の構成だと \(\mathrm{MU}\)-ring spectrum というより強い結果が得られる。 この構成の拡張も何人かの人が調べている。 Strickland や Lazarev など [Str99; Laz01; Laz03]。 特に, regular sequence による quotient について, そのホモロジーなどを調べているのが, Jeaneret と Wüthlich [JWa; JWb] である。

一般(コ)ホモロジーに対する Künnth spectral sequence は, 最初 Adams [Ada69] により構成されたが, EKMM のスペクトラムの圏で考えれば, ホモロジー代数の構成がそのまま使える。

• Künneth spectral sequence と universal coefficient spectral sequence の構成 [Elm+97, pp. 101–102]

他にも, topological cyclic homology などの様々なホモロジー代数的構成を行うことができる。

• ホモロジー代数的構成のホモトピー論的類似

Galois 拡大の類似も考えることもできる。

• commutative \(S\)-algebra の Galois理論

可換環論との類似としては, ideal に関する completionのspectrum level の構成もある。Greenlees と May の [GM95] を見るとよい。

• Greenlees-Mayの (derived) completion

環 \(R\) に対してはその unit の成す群 \(R^{\times }\) が定義されるが, その類似も定義できる。

• associative (\(A_{\infty }\)) ring spectrum の unit

EKMM の spectrum や symmetric spectrum などの symmetric monoidal category を成すspectrum の圏では, 他にも代数的概念の類似を定義することができる。

• ring spectrum 上の module category やその derived category
• topological Hochschild homology や topological cyclic homology [BL04]
• Morita同値 [BL04]

Dwyer と Greenlees と Iyengar は, duality の視点から, 代数と spectrum の類似性を [DGI06] で調べている。 安定ホトピー圏では, 古典的な Spanier-Whitehead duality の他にも様々な duality が考えられている。

• 安定ホモトピー圏での双対性

また, Hopf space で考えられている概念の類似を定義することもできる。

• \(A_{\infty }\)-ring spectrum の間の \(A_{\infty }\)-ring map の成す空間

この \(A_{\infty }\)-ring map の成す空間については, Lazarev が [Laz04] で topological Hochschild homology との関係を調べている。

更に, 当然であるが, 位相空間に対する構成を spectrum に一般化することは当然古くから考えられている。最近でも, 対称積を stable homotopy category に一般化しようという試み [GG] がある。

Boardman の安定ホモトピー圏でもかなりの構成が可能だった。例えば Bousfield は Boardman の安定ホモトピー圏を詳しく調べている。

• Bousfield localization

Ring spectrum の Postnikov tower については, Dugger と Shipley の [DS06] がある。

References

[Ada69]

J. F. Adams. “Lectures on generalised cohomology”. In: Category Theory, Homology Theory and their Applications, III (Battelle Institute Conference, Seattle, Wash., 1968, Vol. Three). Berlin: Springer, 1969, pp. 1–138.

[BL04]

Andrew Baker and Andrey Lazarev. “Topological Hochschild cohomology and generalized Morita equivalence”. In: Algebr. Geom. Topol. 4 (2004), 623–645 (electronic). arXiv: math/0209003. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2004.4.623.

[DGI06]

W. G. Dwyer, J. P. C. Greenlees, and S. Iyengar. “Duality in algebra and topology”. In: Adv. Math. 200.2 (2006), pp. 357–402. arXiv: math/0510247. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2005.11.004.

[DS06]

Daniel Dugger and Brooke Shipley. “Postnikov extensions of ring spectra”. In: Algebr. Geom. Topol. 6 (2006), 1785–1829 (electronic). arXiv: math/0604260. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2006.6.1785.

[Elm+97]

A. D. Elmendorf, I. Kriz, M. A. Mandell, and J. P. May. Rings, modules, and algebras in stable homotopy theory. Vol. 47. Mathematical Surveys and Monographs. With an appendix by M. Cole. Providence, RI: American Mathematical Society, 1997, pp. xii+249. isbn: 0-8218-0638-6.

[GG]

Sergey Gorchinskiy and Vladimir Guletskii. Symmetric powers in abstract homotopy categories. arXiv: 0907.0730.

[GM95]

J. P. C. Greenlees and J. P. May. “Completions in algebra and topology”. In: Handbook of algebraic topology. Amsterdam: North-Holland, 1995, pp. 255–276. url: http://dx.doi.org/10.1016/B978-044481779-2/50008-0.

[Gre07a]

J. P. C. Greenlees. “First steps in brave new commutative algebra”. In: Interactions between homotopy theory and algebra. Vol. 436. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 239–275. arXiv: math/0609453. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/436/08412.

[Gre07b]

J. P. C. Greenlees. “Spectra for commutative algebraists”. In: Interactions between homotopy theory and algebra. Vol. 436. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 149–173. arXiv: math/0609452. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/436/08408.

[JWa]

Alain Jeanneret and Samuel Wüthrich. Clifford algebras from quotient ring spectra. arXiv: 1004.0954.

[JWb]

Alain Jeanneret and Samuel Wüthrich. Quadratic forms classify products on quotient ring spectra. arXiv: 1004.0964.

[Laz01]

A. Lazarev. “Homotopy theory of \(A_{\infty }\) ring spectra and applications to \(M\mathrm{U}\)-modules”. In: \(K\)-Theory 24.3 (2001), pp. 243–281. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1013394125552.

[Laz03]

A. Lazarev. “Towers of \(M\)U-algebras and the generalized Hopkins-Miller theorem”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 87.2 (2003), pp. 498–522. arXiv: math/0209386. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0024611503014102.

[Laz04]

A. Lazarev. “Spaces of multiplicative maps between highly structured ring spectra”. In: Categorical decomposition techniques in algebraic topology (Isle of Skye, 2001). Vol. 215. Progr. Math. Birkhäuser, Basel, 2004, pp. 237–259. arXiv: math/0209388.

[Str99]

N. P. Strickland. “Products on \(\mathrm{MU}\)-modules”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 351.7 (1999), pp. 2569–2606. arXiv: math/0011122. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-99-02436-8.