Commutative S-algebra の Galois理論

その研究の初期から, 安定ホモトピー論が代数的であることには, 多くの人が気づいていた。Ring spectrum やその上の加群という概念が古くから考えられていたが, 環が \(\Z \)-module の圏の monoid object と考えられることから, 球面スペクトラム \(S\) を ground ring と見て, ring spectrum を \(S\)-module の圏の monoid object と考えて議論したくなる。

今では, そのように考えてもよいことは, symmetric monoidal category になる spectrum の圏が構成されたことにより, 保証されている。そのおかげで, ring spectrum を “\(S\)-algebra” と見なして, 環論の類似を展開することもできるようになった。

Rognes は, [Rog; Rog08]で, 可換環の Galois拡大を commutative \(S\)-algebra に一般化するという試みを行っている。

Commutative \(S\)-algebra の Galois理論は, 安定ホモトピー圏の chromatic filtration とも深い関係にある。Rognes の motivation の一つもそこにある。

Daniel Davis は, [Dav] で, 自身の開発した profinite group の spectrum への作用や, その homotopy fixed point spectrum などの道具を用いて, Rognes の Galois 拡大を解釈しようとしている。

他にも, Baker と Richter ら [BR07; BR08] により, commutative \(S\)-algebra の Galois理論は研究されている。

K. Hess は, [Hes09] で, Rognes の commutative \(S\)-algebra の Galois 理論の拡張として, monoidal model category での homotopic Hopf-Galois extension の理論を構築しようとしている。 Beaudry らとの共著 [Bea+] の section 2 で, homotopical Galois theory の枠組みがまとめられている。 彼女らの目的は, それを用いて motivic homotopy theory での commutative algebra の Galois理論を展開することであるが。

Symmetric monoidal stable \((\infty ,1)\)-category での Galois理論の試みとして, Mathew の [Mat] がある。

References

[Bea+]

Agnes Beaudry, Kathryn Hess, Magdalena Kedziorek, Mona Merling, and Vesna Stojanoska. Motivic Homotopical Galois Extensions. arXiv: 1611.00382.

[BR07]

Andrew Baker and Birgit Richter. “Realizability of algebraic Galois extensions by strictly commutative ring spectra”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 359.2 (2007), 827–857 (electronic). arXiv: math/0406314. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-06-04201-2.

[BR08]

Andrew Baker and Birgit Richter. “Galois extensions of Lubin-Tate spectra”. In: Homology, Homotopy Appl. 10.3 (2008), pp. 27–43. arXiv: 0710.5097. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1251832466.

[Dav]

Daniel G. Davis. Rognes’s theory of Galois extensions and the continuous action of \(G_n\) on \(E_n\). arXiv: math/0611943.

[Hes09]

Kathryn Hess. “Homotopic Hopf-Galois extensions: foundations and examples”. In: New topological contexts for Galois theory and algebraic geometry (BIRS 2008). Vol. 16. Geom. Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2009, pp. 79–132. arXiv: 0902.3393. url: http://dx.doi.org/10.2140/gtm.2009.16.79.

[Mat]

Akhil Mathew. The Galois group of a stable homotopy theory. arXiv: 1404.2156.

[Rog]

John Rognes. Galois extensions of structured ring spectra. arXiv: math/0502183.

[Rog08]

John Rognes. “Galois extensions of structured ring spectra. Stably dualizable groups”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 192.898 (2008), pp. viii+137. url: http://dx.doi.org/10.1090/memo/0898.