可換環論との関連

可換環論は環論に入るのだろうか, 代数幾何に入るのだろうか。

安定ホモトピー論の発展により, EKMM の spectrum や symmetric spectrum などを用いることにより, 可換環 \(R\) とその Eilenberg-Mac Lane spectrum \(HR\) を同一視し, 可換環の圏を commutative ring spectrum (\(E_{\infty }\)-ring spectrum) の圏の subcategoryとみなすこともできるようになったので, ホモトピー論の視点からは, 可換環論をどれだけ commutative commutative ring spectrum に一般化できるか, また (安定) ホモトピー論の手法が可換環論にどれぐらい有効なのか, 考えたくなる。 もっとも, ring spectrum の場合には, 可換性は \(E_{2}\) から \(E_{\infty }\) まで様々なレベルがあることに注意すべきである。

• commutative ring spectrum と ring spectrum の可換性
• spectrum level での代数的概念や構成

Commutative ring spectrum までいかなくても, commutative dg algebra に拡張できると, rational homotopy theory などで使える。 例えば, Greenlees ら [GHS13; BG; BGS13] は complete intersection の概念を dg algebra などに拡張しようとしている。

• complete intersection

他には, 可換環の Galois 理論を commutative ring spectrum に一般化しようという試みもある。

• 可換環の Galois 理論 (Auslander と Goldman の [AG60] や Chase と Harrison と Rosenberg の [CHR65])
• commutative ring spectrum の Galois 理論

代数的トポロジーでは, localization や completion という操作をよく使うが, それのcommutative ring spectrum での類似も考えられている。

• 可換環 \(A\) の ideal \(I\) と \(A\)-module \(M\) に対し \(M\) の \(I\)-adic completion
• Greenlees と May [GM95] の spectrum level の completion

このページに入れるのが適当かどうかわからないが, formal group law などで重要なのが Witt vector という概念である。

• ring of Witt vectors

全く違う方向での代数的トポロジーとの関連では, combinatorial commutative algebra がある。正確には, 単体的複体の組み合わせ論との関連であるが。

• combinatorial commutative algebra

References

[AG60]

Maurice Auslander and Oscar Goldman. “The Brauer group of a commutative ring”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 97 (1960), pp. 367–409.

[BG]

D. J. Benson and J. P. C. Greenlees. Complete intersections and derived categories. arXiv: 0906.4025.

[BGS13]

David J. Benson, John P. C. Greenlees, and Shoham Shamir. “Complete intersections and mod \(p\) cochains”. In: Algebr. Geom. Topol. 13.1 (2013), pp. 61–114. arXiv: 1104.4244.

[CHR65]

S. U. Chase, D. K. Harrison, and Alex Rosenberg. “Galois theory and Galois cohomology of commutative rings”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 52 (1965), pp. 15–33.

[GHS13]

J.P.C. Greenlees, K. Hess, and S. Shamir. “Complete intersections in rational homotopy theory”. In: J. Pure Appl. Algebra 217.4 (2013), pp. 636–663. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2012.08.009.

[GM95]

J. P. C. Greenlees and J. P. May. “Completions in algebra and topology”. In: Handbook of algebraic topology. Amsterdam: North-Holland, 1995, pp. 255–276. url: http://dx.doi.org/10.1016/B978-044481779-2/50008-0.