安定ホモトピー圏での双対性

安定ホモトピー圏を用いると, (コ)ホモロジーレベルの現象を, “空間”レベルに持ち上げることができる。もちろん, 正確には空間ではなく spectrum であるが。例えば, Alexander duality を実現するの が Spanier-Whitehead duality [SW53; SW55] である。 その特別な場合として, Atiyah duality [Ati61] がある。

• Spanier-Whitehead duality
• Atiyah duality

可微分多様体 \(M\) に対し, suspension spectrum \(\Sigma ^{\infty }(M_{+})\) と normal bundle の Thom spectrum \(M^{\nu (M)}\) は Spanier-Whitehead dual になるので, \(M^{\nu (M)}\) を \(M\) の Atiyah dual と言ったりする。ここで, \(\nu (M)\) は, \(M\) の十分大きな次元の Euclid空間への埋め込みに対する normal bundle である。

特に, compact Lie群 \(G\) の場合には \[ DG_{+}\wedge S^{\mathrm {ad}(G)} \simeq \Sigma ^{\infty }(G_{+}) \] となるが, T. Bauer [Bau04] は, これを \(p\)-compact 群に拡張している。 更に一般化したのは, Rognes の [Rog] である。

重要なのは, spectrum の category を用いると, 様々な代数的構成の類似を行なうことができることである。

まず Abel群の Pontrjagin duality に対応する Brown-Comenetz duality [BC74; BC76] がある。

• spectrum の Brown-Comenetz duality

Injective Abelian group \(M\) に対し, \[ X \longmapsto \Hom (\pi _{-n}(X),M) \] は, cohomology theory になるので, Brown の表現定理により, 表現する spectrum が存在する。それを \(I_{M}\) と書くが, Brown-Comenetz duality は, function spectrum により定義される functor \[ F(-,I_{M}) : \category {Spectra} \rarrow {} \category {Spectra} \] のことである。Brown と Comenetz が考えたのは, \(M=\Q /\Z \) の場合であるが。

可換環 \(\Z \) が commutative ring spectrum の世界での sphere spectrum に対応することを考えると, \(\Z \) をより一般の (次数付き) 可換環にし commutative ring spectrum \(R\) 上の module spectrum の圏で同様の dualityを定義することが考えられる。これについては, 例えば, Greenlees と Stojanoskaの [GS18]で述べられている。 また, stable homotopy group を他の homology theory に変えたものが, Freed と Moore と Segal の [FMS07] で使われている。

Stojanoska [Sto12] によると, 他にも次のような duality がある。

• Mahowald-Rezk duality [MR99]
• Anderson duality

Anderson duality とは, 射影 \(\Q \to \Q /\Z \) から誘導される \(I_{\Q }\to I_{\Q /\Z }\) の homotopy fiber \(I_{\Z }\) を用いて, function spectrum \[ F(-,I_{\Z }) : \category {Spectra} \rarrow {} \category {Spectra} \] で定義される functor である。 Anderson により \(K\)-theory の universal coefficient theorem のために導入されたものであるが, Anderson の論文は, 出版されてない。 その preprint [And] は Greg Friedman の website から入手できるが。 Greenlees と Meier [GM17; GM18] では, Anderson duality について, D.W. Anderson の論文の他に Kainen の論文 [Kai71] も挙げられている。 Yamashita と Yonekura [YY] は, Hopkins と Singer の [HS05] の Appendix B や Freed, Moore, Segal の [FMS07] の Appendix B を参照している。

驚くことに, Brown-Comenetz duality や Anderson duality は, 物理でも登場するようになった。 例えば, 球面スペクトラムの Anderson dual は, Hopkins と Singer の [HS05] で使われている。 より新しい話題としては, 物性理論で使われるものがある。 Kapustin [Kapb; Kapa] が bordism group の Pontrjagin dual を使っているのに対し, Freed [Fre] や Freed と Hopkins [FH21] は, Madsen-Tillmann spectrum の Brown-Comenetz dual を使うことを提案している。

Stojanoska [Sto12] は, \(\mathrm {tmf}\) が Anderson duality の意味で “self-dual” であることを, elliptic curve の moduli stack を用いて説明しようとしている。 Morava \(K\)-theory with reality の Anderson dual に関する self-duality については, Ricka の [Ric16] で調べられている。 Greenlees と Meier によると, これが \(C_2\)-equivariant spectrum について最初に調べられた場合のようである。

Dwyer, Greenlees, Iyengar [DGI06] は, Gorenstein condition を ring spectrum に導入した。[DGI11] では, Gross-Hopkins duality [HG94] と Gorenstein condition との関係について述べている。

• Gross-Hopkins duality

References

[And]

D.W. Anderson. Universal Coefficient Theorems for \(K\)-theory. url: http://faculty.tcu.edu/gfriedman/notes/Anderson-UCT.pdf.

[Ati61]

M. F. Atiyah. “Thom complexes”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 11 (1961), pp. 291–310. url: https://doi.org/10.1112/plms/s3-11.1.291.

[Bau04]

Tilman Bauer. “\(p\)-compact groups as framed manifolds”. In: Topology 43.3 (2004), pp. 569–597. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.top.2003.09.002.

[BC74]

Edgar H. Brown Jr. and Michael Comenetz. “The Pontrjagin dual of a spectrum”. In: New developments in topology (Proc. Sympos. Algebraic Topology, Oxford, 1972). London: Cambridge Univ. Press, 1974, 11–18. London Math. Soc. Lecture Note Ser., No. 11.

[BC76]

Edgar H. Brown Jr. and Michael Comenetz. “Pontrjagin duality for generalized homology and cohomology theories”. In: Amer. J. Math. 98.1 (1976), pp. 1–27. url: https://doi.org/10.2307/2373610.

[DGI06]

W. G. Dwyer, J. P. C. Greenlees, and S. Iyengar. “Duality in algebra and topology”. In: Adv. Math. 200.2 (2006), pp. 357–402. arXiv: math/0510247. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2005.11.004.

[DGI11]

W. G. Dwyer, J. P. C. Greenlees, and S. B. Iyengar. “Gross-Hopkins duality and the Gorenstein condition”. In: J. K-Theory 8.1 (2011), pp. 107–133. arXiv: 0905.4777. url: http://dx.doi.org/10.1017/is010008025jkt129.

[FH21]

Daniel S. Freed and Michael J. Hopkins. “Reflection positivity and invertible topological phases”. In: Geom. Topol. 25.3 (2021), pp. 1165–1330. arXiv: 1604.06527. url: https://doi.org/10.2140/gt.2021.25.1165.

[FMS07]

Daniel S. Freed, Gregory W. Moore, and Graeme Segal. “The uncertainty of fluxes”. In: Comm. Math. Phys. 271.1 (2007), pp. 247–274. arXiv: hep-th/0605198. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-006-0181-3.

[Fre]

Daniel S. Freed. Short-range entanglement and invertible field theories. arXiv: 1406.7278.

[GM17]

J. P. C. Greenlees and Lennart Meier. “Gorenstein duality for real spectra”. In: Algebr. Geom. Topol. 17.6 (2017), pp. 3547–3619. arXiv: 1607.02332. url: https://doi.org/10.2140/agt.2017.17.3547.

[GM18]

John P. C. Greenlees and Lennart Meier. “Correction to the article: Gorenstein duality for real spectra [ MR3709655]”. In: Algebr. Geom. Topol. 18.5 (2018), pp. 3129–3131. url: https://doi.org/10.2140/agt.2018.18.3129.

[GS18]

J. P. C. Greenlees and V. Stojanoska. “Anderson and Gorenstein duality”. In: Geometric and topological aspects of the representation theory of finite groups. Vol. 242. Springer Proc. Math. Stat. Springer, Cham, 2018, pp. 105–130. arXiv: 1705 . 02664. url: https://doi.org/10.1007/978-3-319-94033-5_5.

[HG94]

M. J. Hopkins and B. H. Gross. “The rigid analytic period mapping, Lubin-Tate space, and stable homotopy theory”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 30.1 (1994), pp. 76–86. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-1994-00438-0.

[HS05]

M. J. Hopkins and I. M. Singer. “Quadratic functions in geometry, topology, and M-theory”. In: J. Differential Geom. 70.3 (2005), pp. 329–452. arXiv: math/0211216. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1143642908.

[Kai71]

Paul C. Kainen. “Universal coefficient theorems for generalized homology and stable cohomotopy”. In: Pacific J. Math. 37 (1971), pp. 397–407.

[Kapa]

Anton Kapustin. Bosonic Topological Insulators and Paramagnets: a view from cobordisms. arXiv: 1404.6659.

[Kapb]

Anton Kapustin. Symmetry Protected Topological Phases, Anomalies, and Cobordisms: Beyond Group Cohomology. arXiv: 1403.1467.

[MR99]

Mark Mahowald and Charles Rezk. “Brown-Comenetz duality and the Adams spectral sequence”. In: Amer. J. Math. 121.6 (1999), pp. 1153–1177. url: http://muse.jhu.edu/journals/american_journal_of_mathematics/v121/121.6mahowald.pdf.

[Ric16]

Nicolas Ricka. “Equivariant Anderson duality and Mackey functor duality”. In: Glasg. Math. J. 58.3 (2016), pp. 649–676. arXiv: 1408. 1581. url: https://doi.org/10.1017/S0017089515000397.

[Rog]

John Rognes. Stably dualizable groups. arXiv: math/0502184.

[Sto12]

Vesna Stojanoska. “Duality for topological modular forms”. In: Doc. Math. 17 (2012), pp. 271–311. arXiv: 1105.3968.

[SW53]

E. H. Spanier and J. H. C. Whitehead. “A first approximation to homotopy theory”. In: Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 39 (1953), pp. 655–660.

[SW55]

E. H. Spanier and J. H. C. Whitehead. “Duality in homotopy theory”. In: Mathematika 2 (1955), pp. 56–80.

[YY]

Mayuko Yamashita and Kazuya Yonekura. Differential models for the Anderson dual to bordism theories and invertible QFT’s, I. arXiv: 2106.09270.