Complex Cobordism and Related Topics

複素コボルディズムについては, Ravenel の本 [Rav86] をまず読むとよいと思う。Rudyak の本 [Rud98] の Chapter VII もよくまとまっている。最近 Buchstaber の解説 [Buc12] も出た。Bakuradze [Bak14] で勧められている。Mishchenko とNovikov と共に書かれた [BMN71] の “updated and modernized” 版らしい。

• weakly almost complex manifold
• スペクトラム \(\mathrm {MU}\)

コボルディズムは, スペクトラムの起源の一つであり, 一般的なコボルディズムのスペクトラムの構成により, \(\mathrm {MU}\) が構成される。単に作るだけなら, Snaith [Sna81] によるホモトピー論的なものがある。つまり \(\mathrm {BU}\) の Bott periodicity element \(\beta \) をホモトピー論的に invert してできるスペクトラム \(\mathrm {BU}[\beta ^{-1}]\) が \(\mathrm {MU}\) になることを示している。

係数環は, とてもきれいな形をしている。

• 環としての同型 \(\mathrm {MU}_* \cong \Z [x_1,x_2,\cdots ]\) がある。ただし \(\deg x_i = 2i\)である。

複素コボルディズム環の計算は, Adams スペクトル系列の良い練習問題である。 環としてきれいな形をしているので, 具体的に weakly almost complex manifold が与えられた時, その cobordism 類がどう表せるかというのは誰でも知りたいことだろう。等質空間の場合を Buchstaber と Terzić [BT] が考えている。

逆に, \(\mathrm {MU}_{*}\) の多項式環としての生成元を代表する多様体を具体的に構成するという問題も考えられる。 Manifold Atlas にある Panov による解説では, このことについてかなり詳しく書かれている。 その解説と Wilfong の [Wil16] によると, 各 polynomial generator は連結な smooth projective toric variety で代表される, というのが予想らしい。Lü と Panov [LP16] は, 任意の complex cobordism class は projective toric manifold の直積の disjoint union で代表されることを示している。 そしてそのことから, 連結な quasitoric manifold で代表されることを示している。

\(\mathrm {MU}\) の最大の特徴は, Quillen [Qui69] により発見された formal group law との関係, そしてそこから従う普遍性である。\(\mathrm {MU}\) から他のホモロジー論を作るときには, ring homomorphism (genus) \[ h : \mathrm {MU}_* \longrightarrow R \] と Landweber exact functor theorem を使うことも多い。

• 複素向き付け可能なコホモロジー論とその formal group law
• \(\mathrm {MU}\) の formal group law は Lazard の universal formal group law
• \(\mathrm {MU}\) は複素向き付け可能なコホモロジー論に対し universality を持つ。
• genus
• Landweber exact functor theorem [Lan76]

Abram の [Abr]によると, equivariant complex cobordism ring についても同様の universality が成り立つ, というのが Greenlees の予想らしい。Abram は有限 Abel 群の場合の formal group law を計算している。

• equivariant complex cobordism ring

Abram と Kriz [AK15] によると, equivariant complex cobordism ring は “equivariant Thom spectrum” のホモトピー群としては表せないらしい。そこで tom Dieck が [Die70] で stable equivariant complex cobordism ring を導入した。Abram と Kriz は, 有限アーベル群に対する stable equivariant complex cobordism ring を決定している。

素数 \(p\) で局所化して考えると, \(\mathrm {MU}\) は Brown-Peterson spectrum \(\mathrm {BP}\) の和に分解する。これは Quillen による発見 [Qui69] である。 \(\mathrm {BP}\) 自体は Brown と Peterson [BP66] により構成された spectrum であるが。 とにかく, 素数で局所化して考えるときに本質的なのは \(\mathrm {BP}\) である。

• \(\mathrm {BP}\)
• \(\mathrm {BP}\) の係数環は \(\mathrm {deg} v_{n}=2p^{n}-2\) である生成元 \(v_{n}\) を用いて \[ \mathrm {BP}_{*}\cong \Z _{(p)}[v_{1},v_{2},\ldots ] \] と表される。

Johnson-Wilson spectrum \(E(n)\) や Morava \(K\)-theory \(K(n)\) のように, \(\mathrm {BP}\) の係数環の一部を取り出したり, \(v_{n}\) を invert したりしてできる環を係数環に持つスペクトラムを作ることもできる。 それらは, 安定ホモトピー論で \(v_{n}\) 周期性を調べる際の基本的な道具である。

• \(v_{n}\) 周期性を調べるための道具

\(S\)-module や symmetric spectrum などの現代的な スペクトラムの枠組みで考えると, \(\mathrm {MU}\) は可換環とみなすことができる。つまり, \(E_{\infty }\)-ring spectrum の 構造を持つ。

一方で, \(\mathrm {BP}\) の ring spectrum の構造についてはまだ分かっていないこともある。 2010年ころまでの状況については, Niles Johnson と Noel の [JN10] の Introduction にまとめられている。 この MathOverflow の質問で聞かれているように, \(E_{\infty }\)-ring spectrum の構造を持つかどうかさえ, 分かっていない。Basterra と Mandell [BM13] により \(\mathrm {MU}\) の積と合う \(E_{4}\)-ring structure を持つことは示されているが。その後, \(2\)-local な \(\mathrm {BP}\) が \(n\ge 12\) に対し \(E_{n}\) 構造を持たないことは, Tyler Lawson [Law18] により示された。

Pengelley [Pen82]は, \(\mathrm {MSU}\) を \(2\) で局所化すると, \(\mathrm {BP}\) ともう一種類のスペクラム \(\mathrm {BoP}\) の wedge に分解することを示した。 その \(\Omega \)-spectrum に現れる空間のホモロジーについて, Wilson [Wil20]が調べている。

• \(\mathrm {BoP}\)

コホモロジーを考えるときには, コホモロジー作用素を考えるのが自然である。 複素コボルディズムについてはLandweber [Lan67]とNovikov [Nov67]の研究がある。

• Landweber-Novikov 作用素
• Landweber-Novikov algebra

Landweber-Novikov algebra は, 複素コボルディズム以外にも様々なところに現れるようである。 Landweber-Novikov algebra 上 の algebra の deformation theoryを扱った論文 [Yau06] の Introduction には \(\R \) 上の整係数 formal vector field の成す環 [BŠ78], 可算無限個の生成元を持つ整係数多項式環上のある種の微分作用素の成す環 [Woo97], 数理物理 [Mor90] などが現れる。Kitchloo [Kit] は, Soergel bimodule との関係を調べている。

更に, 複素コボルディズムと Langland program との関連など, 将来の展望については Morava の [Mor] が興味深い。

References

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