対称積や類似の構成

位相空間 \(X\) の \(n\)個の直積 \(X^n\) には, 右から\(n\)次対称群 \(\Sigma _n\) が作用する。 その商空間 \(\mathrm {SP}^n(X) = X^n/\Sigma _n\) を\(n\)次対称積 (symmetric product) という。

対称積については, Blagojevic と Grujic と Zivaljevic の解説 [BGZ] がお勧めである。曲面の対称積を題材に, 対称積についての興味深い事実が解説されている。彼らは [BGŽ05] で対称積の arrangement についても考えている。

曲面の対称積については, Kallel と Salvatore が [KS06] でより具体的に調べている。Bökstedt と Romao の [BR] によると, gauged vortex の moduli space に関係があるようで, Kallel と Salvatore の結果も使われている。

代数多様体については, Hibert scheme との関係が重要である。また Maxim と Schürmann [MS] が書いているように, orbifold の例としても重要である。また, Lawson homology の定義で使われる algebraic cycle の成す空間も, 対称積の一般化である。 実際, Farb と Wolfson と Wood [FWW19] は, 対称積を用いて, 代数多様体とは限らない多様体の \(0\)-cycle の成す空間を定義している。

• Hibert scheme
• algebraic cycle の成す空間

位相空間の不変量 \(\varphi \) が与えられると, 数列 \(\{\varphi (\mathrm {SP}^n(X))\}\) ができる。このようなときに, 各 \(\varphi (\mathrm {SP}^n(X))\) を個別に求めるのではなく, generating function \(\sum _{n=0}^{\infty } \varphi (\mathrm {SP}^n(X))t^n\) を考えるのは常套手段である。例えば, 単体分割された空間の対称積の Betti 数については, Macdonald [Mac62] の公式がある。

Maxim と Schürmann [MS] によると, 代数多様体の不変量についても, 同様のことが考えられている。Chern class (の sigular variety への一般化) については Ohmoto の [Ohm08] がある。 他の特性類についても, Moonen の [Moo78], Zagier の [Zag72], Borisov と Libgober の [BL02], Cheah の [Che96] などがあるようである。 ホモトピー論的なアプローチとしては, Ganther の [Gan06] がある。Maxim と Schürmann はそれらの一般化を考えている。

対称積には, 点の重複度により自然に stratification が入るが, stratified space には Woolf [Woo09] により fundamental category が定義される。Woolf は, \(\bbC \) の symmetric product の fundamental category を調べているが, その morphism は braid 群の元の一般化で表わせる。

Kallel と Taamallah [KT] は, \(X^n\) を対称群の部分群で割った空間を考え \(X\) の permutation product と呼んでいる。Macdonald の [Mac62] では, partial symmetric product と呼ばれている。Kallel と Taamallah は, その基本群や Euler characteristic について考えている。

対称積を用いて, branched covering を定義することもできる。

無限対称積は Aguilar と Gitler と Prieto の本 [AGP02] では, ホモロジー群を定義するために使われている。その元になっているのは, Dold-Thom の定理である。

• Dold-Thomの定理

対称積と関係の深い空間として, 多項式の成す空間がある。 多項式に対し, その根は対称積の元とみなすのが自然だからである。多項式の成す空間や, そのコンパクト化のホモトピー型について, Shapiro と Welker が [SW98] で調べている。

また, Beilinson と Drinfel\('\)d の [BD04] の§3.4で Ran space と呼ばれている構成も, 対称積や configuration space と関係が深い。Ran の [Ran00] では, very symmetric product と呼ばれている。空集合も含めたものは, exponential space と呼ばれるようである。 Beilinson と Drinfel\('\)d が考えているのは代数幾何学の文脈であり, Francis と Gaitsgory [FG12] にあるように, Ran space そのものより, その上の sheaf の category を構成することを考えるべきだろう。

• exponential space と Ran space

Motivic homotopy theory は scheme の category でホモトピー論的な構成を可能にしたものであるが, Voevodsky の ICM での講演録 [Voe98] によると, Eilenberg-Mac Lane 空間の類似を構成するためには, ホモトピー群による特徴付けではなく, 対称積を用いべきらしい。そのアイデアは, Suslin によるらしいが。 その詳細は, [Voe10] にある。対称積については, §2 に書かれている。

Gorchinskiy と Guletskii の [GG16] は Voevodsky の構成を, 一般の closed symmetric monoidal model category で考えたものである。

代数多様体のホモトピー論としては, motivic homotopy theoryより古い étale homotopy theory でも対称積は考えられている。Tripathy の [Tri16] では Dold-Thom の定理の類似も得られている。

References

[AGP02]

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[BD04]

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[BGZ]

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[BGŽ05]

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[BL02]

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