代数的およびホモロジー代数的構成や概念の spectrum の圏での類似

ホモロジー代数や, それに関連した分野で行なわれる代数的構成の中に, stable model category, 特に spectrum の model category の対象に対して適用できるものがある。 また関連した定義も spectrum の category の言葉に翻訳できる場合が多い。

Ring spectrum に対しては, まず module の概 念が定義できる。よって, derived category を考えることもできる。

• ring spectrum 上の module
• ring spectrum の derived category

また, topological Hochschild homology のような, 環のホモロジーやコホモロジーの類似も定義できる。

• ring spectrum の 代数的(コ)ホモロジー

Lie algebra は, operad 上の algebra として定義する。 その operad は, Goodwillie calculus の研究で Ching [Chi05] により得られたものである。 その operad 上の algebra を spectral Lie algebra と呼ぶ。 Unstable homotopy theory での \(v_{n}\)周期性 を調べるのに使われている。

• spectral Lie algebra

Steenrod algebra 上の module に対する構成の spectrum level での類似も考えられている。Lunøe-Nielsen と Rognes の [LR12] では Singer construction の spectrum version が構成されている。

環に対する各種の次元の ring spectrum 版については, Hovey と Lockridge が色々調べている。

• ring spectrum の各種次元 ([HL11; HL13])

これらは単なる類似というより, 拡張というべきだろう。Dugger と Shipley の結果 [Shi07; Shi; DS07] により, differential graded algebra は ring spectrum とみなすことができるし, 逆に Eilenberg-Mac Lane spectrum 上の algebra spectrum の model category は differential graded algebra の model category と Quillen 同値になるからである。 Richter と Shipley [RS17] は, Eilenberg-Mac Lane spectrum 上の commutative algebra spectrum の場合を考えている。

Azumaya algebra や Brauer group も考えることができる。Baker と Richter の [BRS12] があるし, より一般的には Niles Johnson の [Joh14] がある。

より初等的な環論に登場する概念の類似は, 最近になって少しづつ考えられるようになってきた。例えば, Hovey [Hov] は ring spectrum の ideal の理論を考えている。元々は, Jeff Smith のアイデアらしいが。

可換環でできることを, commutative ring spectrum に拡張することも考えられている。一つの方向として, 代数幾何学の類似を commutative ring spectrum で行なうというものがある。 他にも Fontaine-Illusie-Kato の logarithmic geometry [Kat89] の類似を Rognes [Rog09] が考えている。

Rognes [Rog; Rog08] は, Galois 理論の類似を展開している。

• commutative \(S\)-algebra の Galois理論

体論における概念の類似としては, unramified extension や totally ramified extension の概念の拡張が, Berman [Ber] により導入されている。

また代数的閉体の類似が, Burklund ら [BSY] により, Hilbert Nullstellensatz を用いて定義されている。

Carlsson は, [Car08] で derived completion を定義した。また, それに関連したものとして, [Car11] で deformation \(K\)-theory というものを定義している。T. Lawson の [Law06b] や Ramras の [Ram07] などを見るとよい。

• derived completion
• deformation \(K\)-theory

これは, 群の表現の成す圏から定義される spectrum で, 表現環と, 分類空間の \(K\)-theory の間の completion を取ったものとの同型を与える Atiyah-Segal の定理の拡張を考える際に有用である。関連して, deformation representation ring [Law06a] などが考えられている。

これらは「ホモロジー代数的構成」とは言えないかもしれないが, Abel圏での構成を derived category に拡張することの類似で, 代数的構成を spectrum の圏での構成に拡張したものという点で, 「ホモロジー代数的」である。

Ralph Cohen と Klang [CK20] は, Calabi-Yau algebra などの概念を spectrum の世界に導入している。

一方, spectrum の圏での構成の類似を chain complex で行なうという試みもある。 Kaledin の [Kal11; Kal13] などである。これらは equivariant stable homotopy theory を元にしたものであるが, 群の作用を持つ場合は (安定) ホモトピー論の方が, 進んでいるということだろうか。

References

[Ber]

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[BRS12]

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[BSY]

Robert Burklund, Tomer M. Schlank, and Allen Yuan. The Chromatic Nullstellensatz. arXiv: 2207.09929.

[Car08]

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[Car11]

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[Chi05]

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[CK20]

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[DS07]

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[HL11]

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[HL13]

Mark Hovey and Keir Lockridge. “Homological dimensions of ring spectra”. In: Homology Homotopy Appl. 15.2 (2013), pp. 53–71. arXiv: 1001.0902. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2013.v15.n2.a3.

[Hov]

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[Joh14]

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[Kal11]

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[LR12]

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[Rog]

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[Shi]

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[Shi07]

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