Unit of Ring Spectrum

環 \(R\) に対しては, その unit の成す群 \(R^{\times }=\GL _1(R)\) が定義されるが, 現代的な spectrum の category では, ring spectrum に対するその類似も定義できる。Rezk の [Rez06] や Ando, Blumberg, Gepner, Hopkins, Resk の [And+] をみるとよい。

それによると, 元々は May 達が [May77] で可換, すなわち \(E_{\infty }\)-ring spectrum の場合を考えたのが最初のようである。

• ring spectrum \(R\) の space of units \(\GL _1(R)\)

\(\GL _1(R)\)は, 無限ループ空間として定義されるが, その元になっている spectrum を定義することもできる。

• \(E_{\infty }\)-ring spectrum \(R\) の unit spectrum \(\mathit {gl}_1(R)\)

Ando らの motivation は, cohomology の twisting, そして, Thom spectrum や orentation を詳しく調べること, 特に \(\mathrm {tmf}\) (topological modular form) と \(\mathrm {MString}\) の関係を調べることだったようである。 その中で \(\infty \)-category (quasicategory) が有効に使われているのは興味深い。

Equivariant版については, Santhanam の [San11] で考えられている。

Complex \(K\)-theory の unit の operator algebra 的な model を Dadarlat と Penning が [DP15] で構成している。 Complex \(K\)-theory の unit については, Beardsley, Luecke, Morava が [BLM] で調べていて, Postnikov tower が split することを示している。

可換環の algebraic \(K\)-theory spectrum の場合については, Carmeli と Luecke が [CL] で調べている。

Spitzweck の [Spi] によると, nonconnective な ring spectrum の unit を考えるときには, “graded unit” を考えないといけないようである。

References

[And+]

Matthew Ando, Andrew J. Blumberg, David J. Gepner, Michael J. Hopkins, and Charles Rezk. Units of ring spectra and Thom spectra. arXiv: 0810.4535.

[BLM]

Jonathan Beardsley, Kiran Luecke, and Jack Morava. Brauer-Wall Groups and Truncated Picard Spectra of \(K\)-theory. arXiv: 2306.10112.

[CL]

Shachar Carmeli and Kiran Luecke. The spectrum of units of algebraic \(K\)-theory. arXiv: 2410.10126.

[DP15]

Marius Dadarlat and Ulrich Pennig. “Unit spectra of \(K\)-theory from strongly self-absorbing \(C^*\)-algebras”. In: Algebr. Geom. Topol. 15.1 (2015), pp. 137–168. arXiv: 1306.2583. url: https://doi.org/10.2140/agt.2015.15.137.

[May77]

J. Peter May. \(E_{\infty }\) ring spaces and \(E_{\infty }\) ring spectra. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 577. With contributions by Frank Quinn, Nigel Ray, and Jørgen Tornehave. Berlin: Springer-Verlag, 1977, p. 268.

[Rez06]

Charles Rezk. “The units of a ring spectrum and a logarithmic cohomology operation”. In: J. Amer. Math. Soc. 19.4 (2006), pp. 969–1014. arXiv: math/0407022. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-06-00521-2.

[San11]

Rekha Santhanam. “Units of equivariant ring spectra”. In: Algebr. Geom. Topol. 11.3 (2011), pp. 1361–1403. arXiv: 0912.4346. url: https://doi.org/10.2140/agt.2011.11.1361.

[Spi]

Markus Spitzweck. Another viewpoint on J-spaces. arXiv: 1012.1264.