EKMMのspectrum

May の \(E_{\infty }\)-ring spectrum の概念を発展させて, スペクトラムのレベルでの smash product を含め, より扱い易いスペクトラムの圏を構成したのは, Elmendorf と Kriz と Mandell と May (EKMM)[Elm+97]である。 彼等の意味の spectrum は \(S\)-module という名でも呼ばれる。重要なことは, smash productにより symmetric monoidal category になるということである。そこでの monoid object が \(S\)-algebra である。

• \(S\)-module
• EKMMスペクトラムの圏の smash product による monoidal structure
• EKMMスペクトラムの圏の モデル構造
• \(S\)-algebra

今では, commutative \(S\)-algebra のことを\(E_{\infty }\)-ring spectrum と呼ぶことが多い。\(E_{\infty }\)-ring spectrum は, EKMM のアプローチの基礎としてだけでなく, それ自体も扱いやすいものである。 Robinson は \(\Gamma \)-homology という代数的な道具を用いて obstruction theory を構築しているし, それを元に Baker と Richter [BR05] は \(K\)-theory spectrum などが unique な \(E_{\infty }\) 構造を持つことを示している。

EKMMスペクトラムの圏は, このように \(E_{\infty }\)-ring structure や \(A_{\infty }\)-ring structure を正確に述べるために導入されたと思ってよい。 スペクトラム以外のものに対しても \(E_{\infty }\)-ring structure を考えたいときには, 同様の構成をするというのが一つのアイデアである。実際, 位相空間の圏でそれを行なったものとして, Blumberg と R. Cohen と Schlichtkrull の [BCS10] や Sagave と Schlichtkrull の [SS12] がある。 更に [SS]では braided monoidal 版が考えられている。

References

[BCS10]

Andrew J. Blumberg, Ralph L. Cohen, and Christian Schlichtkrull. “Topological Hochschild homology of Thom spectra and the free loop space”. In: Geom. Topol. 14.2 (2010), pp. 1165–1242. arXiv: 0811.0553. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2010.14.1165.

[BR05]

Andrew Baker and Birgit Richter. “On the \(\Gamma \)-cohomology of rings of numerical polynomials and \(E_{\infty }\) structures on \(K\)-theory”. In: Comment. Math. Helv. 80.4 (2005), pp. 691–723. arXiv: math/0304473. url: http://dx.doi.org/10.4171/CMH/31.

[Elm+97]

A. D. Elmendorf, I. Kriz, M. A. Mandell, and J. P. May. Rings, modules, and algebras in stable homotopy theory. Vol. 47. Mathematical Surveys and Monographs. With an appendix by M. Cole. Providence, RI: American Mathematical Society, 1997, pp. xii+249. isbn: 0-8218-0638-6.

[SS]

Christian Schlichtkrull and Mirjam Solberg. Braided injections and double loop spaces. arXiv: 1403.1101.

[SS12]

Steffen Sagave and Christian Schlichtkrull. “Diagram spaces and symmetric spectra”. In: Adv. Math. 231.3-4 (2012), pp. 2116–2193. arXiv: 1103.2764. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2012.07.013.