Equivariant Stable Homotopy Theory

現代的な spectrum の圏で考えると, 群の作用を考えるのも楽である。 というより, EKMMのスペクトラム [Elm+97] の定義は, May とその共同研究者による equivariant stable homotopy theory の研究に端を発していると言った方が正確である。その研究は, Lewis, May, Steinberger の [Lew+86] にまとめられている。より現代的な扱いとしては, Mandell と May の [MM02] がある。

• compact Lie群 \(G\) に対し \(G\)-equivariant spectrum の成す symmetric monoidal model category

もちろん, 通常の spectrum に EKMM のものや symmetric spectrum, orthogonal spectrum, といった様々なモデルがあるように, equivariant spectrum のモデルも様々なものが提案されている。最近でも, Mandell と May の equivariant orthogonal spectrum の精密化が, Bohmann [Boh] により提案されている。May らの方法は, 通常の spectrum の \(\Z \) による添 字付けを \(G\) の表現による添字付けに拡張するものである。よって universe と呼ばれる \(G\)の表現の成す category を用いる。別のアプローチとして, Hovey と White [HW] は, 通常の orthogonal spectrum で \(G\)作用を持つものを \(G\)-spectrum として考えることを提案している。 Equivariant orthogonal spectrum については, Brun, Dundas, Stolz の [BDS] の Chapter 2 にまとめがある。

• equivariant orthogonal spectrum

最近 equivariant orthogonal spectrum が使われた例としては, Hill, Hopkins, Ravenel による Kervaire invariant one 問題の (1つの場合を除いての) 解決である。その200ページを超える論文 [HHR16] の半分は, equivariant orthogonal spectrum とその homotopy category に関する appendix になっている。

Symmetric spectrum を用いたものとしては, Hausmann の [Hau17] がある。

現代的な spectrum が導入されたのは, spectrum の category に symmetric monoidal structure を定義するためだったが, symmetric monoidal structure があると, (可換) monoid が定義できる。つまり (commutatie) ring spectrum である。 よって, equivariant spectrum の category でも ring spectrum が定義できる。 一方, 古典的な Lewis, May, Steinberger のアプローチ [Lew+86] では operad を用いて記述されている。 これらの関係とその問題点については, Blumberg と Hill の [BH15] の Introduction を読むとよい。

逆に, このような洗練された spectrum ではなく, 古いスタイルの equivariant stable homotopy の解説としては, Adams の [Ada84] がある。

Equivariant spectrum に関する基本的な構成として以下のようなものがある。

• homotopy orbit spectrum \(X_{hG}\)
• homotopy fixed point spectrum \(X^{hG}\)
• norm map \(X_{hG} \longrightarrow X^{hG}\)
• Burnside ring の ideal に関する completion

Burnside ring の ideal に関する completion は, Greenlees と May により [GM92] で導入されたものである。その元となったのは, Burnside ring に関する Segal 予想の研究である。

• Burnside ring に関する Segal 予想

Equivariant な setting での Nishida の nilpotence theorem の類似は, Iriye [Iri83] により示されている。

Spectrum があれば, infinite loop space を考えたくなるが, それについては May, Merling, Osorno の [MMO] の Introduction and Preliminaries を読むとよい。

• equivariant infinite loop space

群が 有限巡回群や \(S^1\) の場合は, topological Hochschild homology や topological cyclic homology の構成に現れる。 その構造を一般化して cyclotomic spectrum という概念が定義されている。 Blumberg と Mandell の [BM15]や Angeltveit らの [Ang+18] などを読むとよい。

• cyclotomic spectrum

Profinite group の作用を考えることもできるが, いろいろ工夫しないといけない。Daniel Davis の [Dav06b] や Fausk の [Fau08a] など。

Daniel Davis は, Bousfield と Friedlander の simplicial spectrum [BF78] で, (simplicial set の) 各次元で discrete な \(G\) の作用を持つものを, discrete \(G\)-spectrum と呼んで, それを用いて homotopy fixed point spectrum の構成などを考えている。

• discrete \(G\)-spectrum の圏のモデル構造 [Dav06a; Dav08]

Fausk は, 表現論の induction theorem の一般化を [Fau08b] で考えている。

Rational stable homotopy も equivariant に考えると面白いと主張しているのは, Greenlees [Gre08] である。

• equivariant rational stable homotopy theory

\(G=\Z _2\) の場合は, Atiyah の Real \(K\)-theory を一般化した Real oriented spectrum を考えることができる。

• Real-oriented cohomology theories

様々な群の作用を同時に考えることもできる。Schwede が global homotopy theory というタイトルで本 [Sch18] を書いている。 そこでは, 群は compact Lie群で, 使われているspectrum は orthogonal spectrum であるが, 有限群なら symmetric spectrum を用いて global equivariant stable homotopy category が構築できる, と言っているのは Markus Hausmann [Hau19] である。

• global equivariant stable homotopy theory

Equivariant spectrum の積について考えたものとして, Lewis と May と Steinberger の [Lew+86] がある。これは 現代的な spectrum の元となった仕事でもある。ところが, Blumberg と Hill [BH15] が指摘しているように, \(G\)-operad で, その \(G\)作用を忘れた operad が \(E_{\infty }\)-operad になっているものは, たくさんある。Lewis-May-Steinberger が用いた \(G\)-equivariant linear isometries operad はその一つに過ぎないわけである。 そこで, Blumberg と Hill は, Hopkins と Hill と Ravenel の [HHR16] で用いられている良い性質を基準として \(N_{\infty }\)-operad を定義し, それを用いて \(E_{\infty }\)-ring spectrum の equivariant 版を定義している。

References

[Ada84]

J. F. Adams. “Prerequisites (on equivariant stable homotopy) for Carlsson’s lecture”. In: Algebraic topology, Aarhus 1982 (Aarhus, 1982). Vol. 1051. Lecture Notes in Math. Springer, Berlin, 1984, pp. 483–532. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0075584.

[Ang+18]

Vigleik Angeltveit et al. “Topological cyclic homology via the norm”. In: Doc. Math. 23 (2018), pp. 2101–2163. arXiv: 1401.5001.

[BDS]

Morten Brun, Bjørn Ian Dundas, and Martin Stolz. Equivariant Structure on Smash Powers. arXiv: 1604.05939.

[BF78]

A. K. Bousfield and E. M. Friedlander. “Homotopy theory of \(\Gamma \)-spaces, spectra, and bisimplicial sets”. In: Geometric applications of homotopy theory (Proc. Conf., Evanston, Ill., 1977), II. Vol. 658. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1978, pp. 80–130.

[BH15]

Andrew J. Blumberg and Michael A. Hill. “Operadic multiplications in equivariant spectra, norms, and transfers”. In: Adv. Math. 285 (2015), pp. 658–708. arXiv: 1309.1750. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2015.07.013.

[BM15]

Andrew J. Blumberg and Michael A. Mandell. “The homotopy theory of cyclotomic spectra”. In: Geom. Topol. 19.6 (2015), pp. 3105–3147. arXiv: 1303.1694. url: https://doi.org/10.2140/gt.2015.19.3105.

[Boh]

Anna Marie Bohmann. Global orthogonal spectra. arXiv: 1208.4997.

[Dav06a]

Daniel G. Davis. “Homotopy fixed points for \(L_{K(n)}(E_{n}\wedge X)\) using the continuous action”. In: J. Pure Appl. Algebra 206.3 (2006), pp. 322–354. arXiv: math / 0501474. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2005.06.022.

[Dav06b]

Daniel G. Davis. “The \(E_{2}\)-term of the descent spectral sequence for continuous \(G\)-spectra”. In: New York J. Math. 12 (2006), pp. 183–191. arXiv: math/0602480. url: http://nyjm.albany.edu:8000/j/2006/12_183.html.

[Dav08]

Daniel G. Davis. “Explicit fibrant replacement for discrete \(G\)-spectra”. In: Homology, Homotopy Appl. 10.3 (2008), pp. 137–150. arXiv: 0801.0332. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1251832470.

[Elm+97]

A. D. Elmendorf, I. Kriz, M. A. Mandell, and J. P. May. Rings, modules, and algebras in stable homotopy theory. Vol. 47. Mathematical Surveys and Monographs. With an appendix by M. Cole. Providence, RI: American Mathematical Society, 1997, pp. xii+249. isbn: 0-8218-0638-6.

[Fau08a]

Halvard Fausk. “Equivariant homotopy theory for pro-spectra”. In: Geom. Topol. 12.1 (2008), pp. 103–176. arXiv: math/0609635. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2008.12.103.

[Fau08b]

Halvard Fausk. “Generalized Artin and Brauer induction for compact Lie groups”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 360.9 (2008), pp. 5043–5066. arXiv: math/0609641. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-08-04528-5.

[GM92]

J. P. C. Greenlees and J. P. May. “Completions of \(G\)-spectra at ideals of the Burnside ring”. In: Adams Memorial Symposium on Algebraic Topology, 2 (Manchester, 1990). Vol. 176. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1992, pp. 145–178. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511526312.016.

[Gre08]

J. P. C. Greenlees. “Rational torus-equivariant stable homotopy. I. Calculating groups of stable maps”. In: J. Pure Appl. Algebra 212.1 (2008), pp. 72–98. arXiv: 0705 . 2686. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2007.05.010.

[Hau17]

Markus Hausmann. “\(G\)-symmetric spectra, semistability and the multiplicative norm”. In: J. Pure Appl. Algebra 221.10 (2017), pp. 2582–2632. arXiv: 1411. 2290. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2017.01.004.

[Hau19]

Markus Hausmann. “Symmetric spectra model global homotopy theory of finite groups”. In: Algebr. Geom. Topol. 19.3 (2019), pp. 1413–1452. arXiv: 1509.09270. url: https://doi.org/10.2140/agt.2019.19.1413.

[HHR16]

M. A. Hill, M. J. Hopkins, and D. C. Ravenel. “On the nonexistence of elements of Kervaire invariant one”. In: Ann. of Math. (2) 184.1 (2016), pp. 1–262. arXiv: 0908.3724. url: https://doi.org/10.4007/annals.2016.184.1.1.

[HW]

Mark Hovey and David White. An alternative approach to equivariant stable homotopy theory. arXiv: 1312.3846.

[Iri83]

Kouyemon Iriye. “The nilpotency of elements of the equivariant stable homotopy groups of spheres”. In: J. Math. Kyoto Univ. 22.2 (1982/83), pp. 257–259. url: https://doi.org/10.1215/kjm/1250521814.

[Lew+86]

L. G. Lewis Jr., J. P. May, M. Steinberger, and J. E. McClure. Equivariant stable homotopy theory. Vol. 1213. Lecture Notes in Mathematics. With contributions by J. E. McClure. Springer-Verlag, Berlin, 1986, pp. x+538. isbn: 3-540-16820-6.

[MM02]

M. A. Mandell and J. P. May. “Equivariant orthogonal spectra and \(S\)-modules”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 159.755 (2002), pp. x+108.

[MMO]

J. Peter May, Mona Merling, and Angélica M. Osorno. Equivariant infinite loop space theory, I. The space level story. arXiv: 1704. 03413.

[Sch18]

Stefan Schwede. Global homotopy theory. Vol. 34. New Mathematical Monographs. Cambridge University Press, Cambridge, 2018, pp. xviii+828. isbn: 978-1-108-42581-0. arXiv: 1802.09382. url: https://doi.org/10.1017/9781108349161.