Monoidal model category

位相空間の圏など, 通常の代数的トポロジーで扱う model category は, closed symmetric monoidal category になっていることが多い。そこで, 導入されたのが, monoidal model category という概念である。

Lewis と Mandell の [LM07] によると, monoidal model category の研究は Schwede と Shipley の [SS00] から始まったそうである。もっとも, 位相空間の monoidal model category については, Schwänzl と Vogt による [SV91] がある。

Schwede と Shipley の定義は, cofibration と monoidal structure, そして trivial cofibration と monoidal structure に関する条件のみ要求している。 その条件は pushout-product axiom と呼ばれている。

• pushout-product axiom

Fibration については考えなくてもいいのか, というのは自然な疑問であるが, model category では cofibration と trivial cofibration から lifting により fibration が決まるので, cofibration と trivial cofibration に関する条件だけでよいはずである。Fibration に関する条件を具体的に書こうとすると “mapping space” に相当するものを使って cofibration を fibration に変換する必要がある。よって Cartesian closed である必要がある。 その条件は例えば, Lewis と Mandell の [LM07] にある。

Schwede と Shipley の定義でもう一つ抜けているのは, unit に関する条件である。 Hovey の本 [Hov99] の Chapter 4 は, monoidal model category に充てられているが, そこでは unit についての条件も仮定されている。Lewis と Mandell もそれに従っている。J.E. Harper [Har] は, unit に関する条件は仮定していないが。

Monoidal category があれば, それで enrich された category が定義できるが, Lewis と Mandell [LM07] は, monoidal model category で enrich された model category についても考えている。また, Berger と Moerdijk [BM] は monoidal model category で enrich された small category の category の model structure について調べている。

• enriched model category

Enriched category の他に, monoidal category と言って連想するものとして, monoid object とその上の module, operad やその上の algebra や module がある。 これら圏の model structure についても色々調べられている。Schwede と Shipley は, monoidal model category での monoid object を考えるために, monoid axiom という条件を考えている。

• monoid axiom

Monoidal model category の operad 上の algebra や module の圏の model structure について, 一般的に調べたのは Harper [Har] であるが, そこでも monoid axiom は仮定されている。

• operad 上の algebra やその上の module の model structure

Monoidal model category での operad の作用と localization の関係については, Casacuberta らが [Cas+10] で調べている。

Shoikhet [Sho] は, lax や oplax monoidal functor を扱うために, bialgebra axiom を導入した。

Monoidal model category で enrichされたcategory の category には, 自然に model structure が入ることが期待されるが, それについては, Berger と Moerdijk [BM] が考えている。

Monoidal model category \(\bm {V}\) の morphism を object とする category \(\category {Mor}(\bm {V})\) は “pushout-product” により monoidal category になるが, White と Yau [WY] は, projective model structure により monoidal model category になることを示している。これは Hovey が [Hov] で cofibrantly generated であることを仮定して証明したことの別証である。

Symmetric monoidal model category は, Toën と Vezzosi の [TV08] では, その基礎となる homotopical algebraic context を定義するために用いられている。

• homotopical algebraic context

di Brino ら [DPP19] は, \(\cD \)-module に基づいた derived algebraic geometry の類似に使うことを考えている。

References

[BM]

Clemens Berger and Ieke Moerdijk. On the homotopy theory of enriched categories. arXiv: 1201.2134.

[Cas+10]

Carles Casacuberta, Javier J. Gutiérrez, Ieke Moerdijk, and Rainer M. Vogt. “Localization of algebras over coloured operads”. In: Proc. Lond. Math. Soc. (3) 101.1 (2010), pp. 105–136. arXiv: 0806.3983. url: https://doi.org/10.1112/plms/pdp034.

[DPP19]

Gennaro Di Brino, Damjan Pištalo, and Norbert Poncin. “Homotopical algebraic context over differential operators”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 14.1 (2019), pp. 293–347. arXiv: 1706. 05922. url: https://doi.org/10.1007/s40062-018-0213-7.

[Har]

John E. Harper. Homotopy theory of modules over operads and non-Sigma operads in monoidal model categories. arXiv: 0801.0191.

[Hov]

Mark Hovey. Smith ideals of structured ring spectra. arXiv: 1401. 2850.

[Hov99]

Mark Hovey. Model categories. Vol. 63. Mathematical Surveys and Monographs. Providence, RI: American Mathematical Society, 1999, p. xii 209. isbn: 0-8218-1359-5.

[LM07]

L. Gaunce Lewis Jr. and Michael A. Mandell. “Modules in monoidal model categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 210.2 (2007), pp. 395–421. arXiv: math/0606275. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2006.10.002.

[Sho]

Boris Shoikhet. A bialgebra axiom and the Dold-Kan correspondence. arXiv: 1109.5441.

[SS00]

Stefan Schwede and Brooke E. Shipley. “Algebras and modules in monoidal model categories”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 80.2 (2000), pp. 491–511. arXiv: math / 9801082. url: http://dx.doi.org/10.1112/S002461150001220X.

[SV91]

R. Schwänzl and R. M. Vogt. “The categories of \(A_{\infty }\)- and \(E_{\infty }\)-monoids and ring spaces as closed simplicial and topological model categories”. In: Arch. Math. (Basel) 56.4 (1991), pp. 405–411. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01198229.

[TV08]

Bertrand Toën and Gabriele Vezzosi. “Homotopical algebraic geometry. II. Geometric stacks and applications”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 193.902 (2008), pp. x+224. arXiv: math/0404373.

[WY]

David White and Donald Yau. Arrow Categories of Monoidal Model Categories. arXiv: 1703.05359.