Flow Categories

Lipshitz と Sarkar [LS14] により構成された Khovanov homology を表す spectrum を Khovanov homotopy type と呼ぶが, その構成には, flow category と呼ばれる topological category が使われる。 より正確には, flow category の neat embedding (immersion) とその coherent framing, すなわち framed flow category であるが。 そのアイデアは, Cohen と Jones と Segal の [CJS95] に登場したものであり, flow category という言葉もそこに登場する。

• framed flow category

定義は, Lipshitz と Sarkar の論文よりも, Jones と Lobb と Schütz の [JLS19] の方が, 記号や条件が整理されていて読み易いと思う。 本質的には同じであるが。

Neat embedding (immersion) は, 元々 Laures [Lau00] で 角付き多様体の一種である \(\langle n\rangle \)-manifold に対し定義されたものである。 Lipshitz と Sarkar の flow category は morphism の空間が \(\langle n\rangle \)-manifold の構造を持つので, flow category の neat immersion や neat embedding が定義できる。

References

[CJS95]

R. L. Cohen, J. D. S. Jones, and G. B. Segal. “Floer’s infinite-dimensional Morse theory and homotopy theory”. In: The Floer memorial volume. Vol. 133. Progr. Math. Basel: Birkhäuser, 1995, pp. 297–325.

[JLS19]

Dan Jones, Andrew Lobb, and Dirk Schütz. “An \(\mathfrak {sl}_n\) stable homotopy type for matched diagrams”. In: Adv. Math. 356 (2019), pp. 106816, 70. arXiv: 1506.07725. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2019.106816.

[Lau00]

Gerd Laures. “On cobordism of manifolds with corners”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 352.12 (2000), 5667–5688 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-00-02676-3.

[LS14]

Robert Lipshitz and Sucharit Sarkar. “A Khovanov stable homotopy type”. In: J. Amer. Math. Soc. 27.4 (2014), pp. 983–1042. arXiv: 1112.3932. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-2014-00785-2.