Flow Categories

Lipshitz と Sarkar [LS14] により構成された Khovanov homology を表す spectrum を Khovanov homotopy type と呼ぶが, その構成には, flow category と呼ばれる topological category が使われる。 より正確には, flow category の neat embedding (immersion) とその coherent framing, すなわち framed flow category であるが。 そのアイデアは, Cohen と Jones と Segal の [CJS95] に登場したものであり, flow category という言葉もそこに登場する。

• framed flow category

定義は, Lipshitz と Sarkar の論文よりも, Jones と Lobb と Schütz の [JLS19] の方が, 記号や条件が整理されていて読み易いと思う。 本質的には同じであるが。

Morse 関数の場合の flow category については, Ralph Cohen らの lecture notes [CIN] や Ralph Cohen が執筆中の本 [Coh] に書かれている。

Neat embedding (immersion) は, 元々 Laures [Lau00] で 角付き多様体の一種である \(\langle n\rangle \)-manifold に対し定義されたものである。 Lipshitz と Sarkar の flow category は morphism の空間が \(\langle n\rangle \)-manifold の構造を持つので, flow category の neat immersion や neat embedding が定義できる。

この flow category の構成では associativity が問題になるので, higher homotopy を考慮に入れて topological category ではなく higher category を構成するのも, 自然なアイデアだと思う。そのような試みとして Sun と Wang の [SW24] がある。

Flow category のPL版 (poset版) として Sarkar [Sar12] が考えているものがある。また discrete Morse 関数の場合は [NTT18] で導入した。

References

[CIN]

R. L. Cohen, Kevin Iga, and Paul Norbury. Topics in Morse theory: Lecture Notes. url: https://math.stanford.edu/~ralph/morsecourse/biglectures.pdf.

[CJS95]

R. L. Cohen, J. D. S. Jones, and G. B. Segal. “Floer’s infinite-dimensional Morse theory and homotopy theory”. In: The Floer memorial volume. Vol. 133. Progr. Math. Basel: Birkhäuser, 1995, pp. 297–325.

[Coh]

Ralph L. Cohen. Bundles, Homotopy, and Manifolds. url: https://virtualmath1.stanford.edu/~ralph/bookR4.pdf.

[JLS19]

Dan Jones, Andrew Lobb, and Dirk Schütz. “An \(\mathfrak {sl}_n\) stable homotopy type for matched diagrams”. In: Adv. Math. 356 (2019), pp. 106816, 70. arXiv: 1506.07725. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2019.106816.

[Lau00]

Gerd Laures. “On cobordism of manifolds with corners”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 352.12 (2000), 5667–5688 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-00-02676-3.

[LS14]

Robert Lipshitz and Sucharit Sarkar. “A Khovanov stable homotopy type”. In: J. Amer. Math. Soc. 27.4 (2014), pp. 983–1042. arXiv: 1112.3932. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-2014-00785-2.

[NTT18]

Vidit Nanda, Dai Tamaki, and Kohei Tanaka. “Discrete Morse theory and classifying spaces”. In: Adv. Math. 340 (2018), pp. 723–790. arXiv: 1612.08429. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.10.016.

[Sar12]

Sucharit Sarkar. “Grid diagrams and shellability”. In: Homology Homotopy Appl. 14.2 (2012), pp. 77–90. arXiv: 0901.2156. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2012.v14.n2.a5.

[SW24]

Shan Zhong Sun and Chen Xi Wang. “A weak \(\infty \)-functor in Morse theory”. In: Acta Math. Sin. (Engl. Ser.) 40.11 (2024), pp. 2571–2614. arXiv: 2208.11959. url: https://doi.org/10.1007/s10114-024-2523-5.