Dowker Complex

Dowker は, [Dow52] で, 関係 \(R\subset X\times Y\) から, abstract simplicial complex \(D(R)\) を構成し, そのホモロジーを調べている。Brun らの [BFS] では, Dowker complex と呼ばれている。

Dowker は, 関係 \(R\subset X\times Y\) とその転置 \(R^{t}\subset Y\times X\) の Dowker complex の ホモロジー が同型になることを証明している。 この事実は, Dowker duality と呼ばれるようである。

• Dowker duality

当然, ホモロジー同値をホモトピー同値に改良しようと考えたくなるが, それについては Björner [Bjö95] が, 具体的にホモトピー同値写像を構成することにより示している。

そのホモトピー同値が, 関係の inclusion に関して up to homotopy で自然であることを示しているのが, Chowdhury と Mémoli の [CM18] である。 それを, より一般の関係の間の morphism に拡張したものとして, Virk の [Vir21] がある。

Brun と Salbu [BS] は, 転置を取ることが simplicial complex の同型 \(E(R)\to E(R^{t})\) を与えるような simplicial complex \(E(R)\) を構成し, rectangle complex と名付けている。

• rectangle complex

射影により simplicial complex の写像 \(E(R)\to D(R)\) が定義され, Brun と Salbu は, それがホモトピー同値になることを示している。よって, Dowker duality は, ホモトピー同値と同相の列 \[ \|D(R)\| \larrow {\simeq } \|E(R)\| \cong \|E(R^{t})\| \rarrow {\simeq } \|D(R^{t})\| \] で理解するのがよいようである。

Robinson [Rob] は, cosheaf を用いることを提案している。

Brun と Salbu は更に [BFS] で, Fosse と共に category への一般化を提案している。

References

[BFS]

Morten Brun, Marius Gårdsmann Fosse, and Lars M. Salbu. Dowker Duality for Relations of Categories. arXiv: 2303.16032.

[Bjö95]

A. Björner. “Topological methods”. In: Handbook of combinatorics, Vol. 1, 2. Amsterdam: Elsevier, 1995, pp. 1819–1872.

[BS]

Morten Brun and Lars M. Salbu. The Rectangle Complex of a Relation. arXiv: 2207.02018.

[CM18]

Samir Chowdhury and Facundo Mémoli. “A functorial Dowker theorem and persistent homology of asymmetric networks”. In: J. Appl. Comput. Topol. 2.1-2 (2018), pp. 115–175. arXiv: 1608.05432. url: https://doi.org/10.1007/s41468-018-0020-6.

[Dow52]

C. H. Dowker. “Homology groups of relations”. In: Ann. of Math. (2) 56 (1952), pp. 84–95. url: https://doi.org/10.2307/1969768.

[Rob]

Michael Robinson. Cosheaf Representations of Relations and Dowker Complexes. arXiv: 2005.12348.

[Vir21]

Žiga Virk. “Rips complexes as nerves and a functorial Dowker-nerve diagram”. In: Mediterr. J. Math. 18.2 (2021), Paper No. 58, 24. arXiv: 1906.04028. url: https://doi.org/10.1007/s00009-021-01699-4.