Topological Cyclic Homology

Topological cyclic homology は, Bökstedt と Hsiang と Madsen により [BHM93] で導入された。 Cyclic homology が Hochschild homology の構成を元に定義されるように, topological cyclic homology の構成も topological Hochschild homology が元になる。 構成は, cyclic homology とはかなり異なるが。

その目的は, Quillen の algebraic \(K\)-theory や Waldhausenの algebraic \(K\)-theory of spaces を調べるための道具を開発することだった。Topological cyclic homology の algebraic \(K\)-theory の応用については, Dundas の overview [Dun23] がある。

短い解説としては, May の lecture note [May] がある。そこでは, まず一般の symmetric monoidal category での monoid object に対する cyclic object の構成から始め, Witt ring の解説を行なってから, spectrum の category で topological cyclic homology を構成している。 これが最短距離で学ぶ道のような気がする。

手順は, 次の通りである:

1. \(\mathrm {THH}(R)\) に \(S^{1}\) の作用, そして cyclotomic spectrum の構造を定義する。
2. その fixed point spectrum \(\mathrm {THH}(R)^{C_{p^{n-1}}}\) の tower \[ \cdots \rarrow {R} \mathrm {THH}(R)^{C_{p^{n}}} \rarrow {R} \mathrm {THH}(R)^{C_{p^{n-1}}} \rarrow {R} \cdots \rarrow {R} \mathrm {THH}(R) \] の homotopy limit として, \(\mathrm {TR}(R)\) を定義する。
3. そして, Frobenius map \(F\) の homotopy fixed point, つまり \(F-1: \mathrm {TR}(R)\to \mathrm {TR}(R)\) の homotopy fiber として \(\mathrm {TC}(R)\) を定義する。

この途中で登場する \(\mathrm {TR}\) は, Ponto らの [MP22; Cam+] では, topological restriction homology と呼ばれている。

• topological restriction homology

Sulyma の [Sul] の §2.2 では, THH から関連した spectrum をどのように構成するかがまとめられているが, そこでは, \(\mathrm {THH}(R)^{C_{p^{n-1}}}\) は \(\mathrm {TR}^{n}(R)\) と表されている。 それらの間の写像には \(R\) だけでなく, \[ \begin {split} F & : \mathrm {TR}^{n+1}(R) \rarrow {} \mathrm {TR}^{n}(R) \\ V & : \mathrm {TR}^{n}(R) \rarrow {} \mathrm {TR}^{n+1}(R) \end {split} \] もある。上の Frobenius map の (homotopy) limit は \(\mathrm {TF}\) と表され, topological Frobenius homology と呼ばれている。 また下の Verschiebung map の homotopy limit で定義される spectrum は \(\mathrm {TV}\) と表され topological Verschiebung homology と呼ばれている。

• topological Frobenius homology \(\mathrm {TF}\)
• topological Verschiebung homology \(\mathrm {TV}\)

より詳しい topological cyclic homology の解説としては, Dundas と Goodwillie と McCarthy の本 [DGM13] がある。ちゃんと勉強するのなら, この本から始めるべきだろう。

Algebraic \(K\)-theory を計算するためにどのように使われるか, そして最近の動向については, Dundas の [Dun23] を見るとよい。

その構成のためには, spectrum への巡回群の作用を考えなければらないので, equivariant stable homotopy theory を勉強しないといけない。特に fixed point を取ったりするときに注意が必要である。 Nikolaus と Scholze [NS18] は, そのような空間レベルの議論ではなく homotopy 不変な概念のみ用いた構成を提案している。

Ayala, Mazel-Gee, Rozenblyum [AMR] は, spectrum の圏で enrich された \(\infty \)-category の topological cyclic homology の構成を提案している。

もっとも重要な性質として, May の解説でも書かれているように, Dennis trace map \(K(A)\to \mathrm {THH}(A)\) を factor する cyclotomic trace map の存在がある。 つまり, 次の図式を 可換にする morphism が存在する。 \[ \xymatrix { K(A) \ar [rr] \ar [dr] & & \mathrm {THH}(A) \\ & \mathrm {TC}(A) \ar [ur] & } \]

• Dennis trace や cyclotomic trace などの trace map

\(K(A)\) と \(\mathrm {TC}(A)\) の直接の関係としては, Hesselholt と Madsen の [HM97] で得られているものがある。\(k\) が標数 \(p>0\) の体のとき, \(W(k)\) 上有限生成な algebra \(A\) に対しては, \(p\)-completion \(\mathrm {TC}(A)^{\wedge }_{p}\) の connective cover は, algebraic \(K\)-theory spectrum の \(p\)-completion \(K(A)^{\wedge }_{p}\) とホモトピー同値になることが示されている。

位相空間 \(X\) に対しては, algebraic \(K\)-theory of space \(A(X)\) が定義されるが, K. Hess は chain complex \(tc_*(X)\) で, \(H_*(tc_*(X)\otimes \F _p)\) が topological cyclic homology の spectrum としての mod \(p\) homology \(H_*(TC(X;p);\F _p)\) と同型になるようなものを [Hes06] で作っている。

Hesselholt は topological cyclic homology の periodic 版 \(TP\) を [Hes] で定義している。

Blumberg と Mandell [BM] が Künneth の定理の類似を証明している。 Antieau, Mathew, Nikolaus がその別証を [AMN18] で与えている。

Rognes の red shift conjecture に関連して, iterated algebraic \(K\)-theory を調べるために, Carlsson と Douglas と Dundas が [CDD11] で higher topological cyclic homology を導入している。

• higher topological cyclic homology

関連した構成として, Brun と Carlsson と Dundas [BCD10] の covering homology がある。

• covering homology

Anti-involution を持つ環や ring spectrum に対しては, real topological Hochschild homology が定義されるが, 当然 topological cyclic homology の real 版がある。

• real topological cyclic homology

Høgenhaven の [Høg] では, Bökstedt-Hsiang-Madsen 流の方法で定義されているが, Quigley と Shah の [QS] では, Nicholaus-Scholze 流の方法で定義されている。

References

[AMN18]

Benjamin Antieau, Akhil Mathew, and Thomas Nikolaus. “On the Blumberg-Mandell Künneth theorem for TP”. In: Selecta Math. (N.S.) 24.5 (2018), pp. 4555–4576. arXiv: 1710 . 05658. url: https://doi.org/10.1007/s00029-018-0427-x.

[AMR]

David Ayala, Aaron Mazel-Gee, and Nick Rozenblyum. The geometry of the cyclotomic trace. arXiv: 1710.06409.

[BCD10]

Morten Brun, Gunnar Carlsson, and Bjørn Ian Dundas. “Covering homology”. In: Adv. Math. 225.6 (2010), pp. 3166–3213. arXiv: 0706.0626. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2010.05.018.

[BHM93]

M. Bökstedt, W. C. Hsiang, and I. Madsen. “The cyclotomic trace and algebraic \(K\)-theory of spaces”. In: Invent. Math. 111.3 (1993), pp. 465–539. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01231296.

[BM]

Andrew J. Blumberg and Michael A. Mandell. The strong Künneth theorem for topological periodic cyclic homology. arXiv: 1706.06846.

[Cam+]

Jonathan A. Campbell, John A. Lind, Cary Malkiewich, Kate Ponto, and Inna Zakharevich. \(K\)-theory of endomorphisms, the \(\mathit {TR}\)-trace, and zeta functions. arXiv: 2005.04334.

[CDD11]

Gunnar Carlsson, Christopher L. Douglas, and Bjørn Ian Dundas. “Higher topological cyclic homology and the Segal conjecture for tori”. In: Adv. Math. 226.2 (2011), pp. 1823–1874. arXiv: 0803. 2745. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2010.08.016.

[DGM13]

Bjørn Ian Dundas, Thomas G. Goodwillie, and Randy McCarthy. The local structure of algebraic K-theory. Vol. 18. Algebra and Applications. Springer-Verlag London, Ltd., London, 2013, pp. xvi+435. isbn: 978-1-4471-4392-5; 978-1-4471-4393-2.

[Dun23]

Bjørn Ian Dundas. “Applications of topological cyclic homology to algebraic K-theory”. In: Cyclic cohomology at 40: achievements and future prospects. Vol. 105. Proc. Sympos. Pure Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, [2023] ©2023, pp. 135–159. arXiv: 2206.08125. url: https://doi.org/10.1090/pspum/105/07.

[Hes]

Lars Hesselholt. Periodic topological cyclic homology and the Hasse-Weil zeta function. arXiv: 1602.01980.

[Hes06]

Kathryn Hess. “An algebraic model for mod 2 topological cyclic homology”. In: String topology and cyclic homology. Adv. Courses Math. CRM Barcelona. Basel: Birkhäuser, 2006, pp. 97–163. arXiv: math/0412271.

[HM97]

Lars Hesselholt and Ib Madsen. “On the \(K\)-theory of finite algebras over Witt vectors of perfect fields”. In: Topology 36.1 (1997), pp. 29–101. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(96)00003-1.

[Høg]

Amalie Høgenhaven. Real topological cyclic homology of spherical group rings. arXiv: 1611.01204.

[May]

J.P. May. Topological Hochschild and cyclic homology and algebraic \(K\)-theory. url: http://www.math.uchicago.edu/~may/TALKS/THHTC.pdf.

[MP22]

Cary Malkiewich and Kate Ponto. “Periodic points and topological restriction homology”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 4 (2022), pp. 2401–2459. arXiv: 1811.12871. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rnaa174.

[NS18]

Thomas Nikolaus and Peter Scholze. “On topological cyclic homology”. In: Acta Math. 221.2 (2018), pp. 203–409. arXiv: 1707. 01799. url: https://doi.org/10.4310/ACTA.2018.v221.n2.a1.

[QS]

J. D. Quigley and Jay Shah. On the parametrized Tate construction and two theories of real \(p\)-cyclotomic spectra. arXiv: 1909.03920.

[Sul]

Yuri J. F. Sulyma. A slice refinement of Bökstedt periodicity. arXiv: 2007.13817.