Global Equivariant Homotopy Theory

群の作用を考えるときは, 群 \(G\) を固定し, \(G\) の作用を持つ空間や \(G\)-equivariant map を考えるのが基本である。ただ, 作用を部分群に制限したり, より一般に群準同型 \(H\to G\) で誘導された作用を考えたりもするので, できれば異なる群の作用の間の関係も考えたい。

そのための枠組みとして, Schwede [Sch18] による global equivariant homotopy theory がある。

空間レベルでは, orthogonal space という orthogonal spectrum の空間版や \(\mathcal {L}\)-space という \(\mathcal {L}\)-spectrum の空間版をモデルとして用いる。 Böhme [Böh19] は, \(S\)-module の空間版の \(*\)-module というものを使っている。

• orthogonal space
• \(\mathcal {L}\)-space
• \(*\)-module

当然, orthogonal spectrum を用いて, 安定ホモトピー論も展開できる。

• global stable homotopy theory

Hausmann [Hau19] は, 有限群に限れば, symmetric spectrum も使えることを示している。

Schwede は, [Sch20] で orbispace のホモトピー論に使うことを提案しているが, 実際に orbifold からその stable global homotopy type を表す orthogonal spectrum を構成しているものとして, Juran の [Jur] がある。

枠組みとしては, Linskens, Nardin, Pol [LNP25] による \(\infty \)-categorical なものもある。

Linskens は, Cnossen と Lenz と共に [CLL] で, global \(\infty \)-category という枠組みを定義している。各群 \(G\) に対し \(\infty \)-category \(C(G)\), 準同型 \(f:G\to H\) に対し functor \(f^{*}:C(H)\to C(G)\) があり, それらがある条件をみたすものである。

• global \(\infty \)-category

Schwede は, [Sch22] で algebraic \(K\)-theory の global 版を定義している。その際, parsummable category という概念を導入している。

• parsummable category
• global algebraic \(K\)-theory

Lenz [Len25] に書かれているように, global equivariant homotopy theory は, 特定の群 \(G\) に関する \(G\)-equivariant homotopy theory を含むものではない。そこで, Lenz の論文 や thesis [Len21] では, global equivariant homotopy theory と \(G\)-equivariant homotopy theory の共通の一般化として, \(G\)-global homotopy theory が提案されている。 \(G\)-global algebraic \(K\)-theory も提案されている。

• \(G\)-global homotopy theory
• \(G\)-global algebraic \(K\)-theory

Lenz [Len23] は, unstable \(G\)-global homotopy theory の model として \(G\) の作用を持つ small category を使うことを提案している。

Operad, 特に \(E_{\infty }\)-operad の global 版については, Barrero [Bar23] が考えている。

• global \(E_{\infty }\)-operad

References

[Bar23]

Miguel Barrero. “Operads in unstable global homotopy theory”. In: Algebr. Geom. Topol. 23.7 (2023), pp. 3293–3355. arXiv: 2110.01674. url: https://doi.org/10.2140/agt.2023.23.3293.

[Böh19]

Benjamin Böhme. “Global model structures for \(*\)-modules”. In: Homology Homotopy Appl. 21.2 (2019), pp. 213–230. arXiv: 1607.00144. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2019.v21.n2.a12.

[CLL]

Bastiaan Cnossen, Tobias Lenz, and Sil Linskens. Parametrized stability and the universal property of global spectra. arXiv: 2301.08240.

[Hau19]

Markus Hausmann. “Symmetric spectra model global homotopy theory of finite groups”. In: Algebr. Geom. Topol. 19.3 (2019), pp. 1413–1452. arXiv: 1509.09270. url: https://doi.org/10.2140/agt.2019.19.1413.

[Jur]

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[Len21]

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[Len23]

Tobias Lenz. “Categorical models of unstable \(G\)-global homotopy theory”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 64.4 (2023), pp. 439–481. arXiv: 2109.02067.

[Len25]

Tobias Lenz. “\(G\)-global homotopy theory and algebraic \(K\)-theory”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 306.1545 (2025), pp. v+246. arXiv: 2012.12676. url: https://doi.org/10.1090/memo/1545.

[LNP25]

Sil Linskens, Denis Nardin, and Luca Pol. “Global homotopy theory via partially lax limits”. In: Geom. Topol. 29.3 (2025), pp. 1345–1440. arXiv: 2206.01556. url: https://doi.org/10.2140/gt.2025.29.1345.

[Sch18]

Stefan Schwede. Global homotopy theory. Vol. 34. New Mathematical Monographs. Cambridge University Press, Cambridge, 2018, pp. xviii+828. isbn: 978-1-108-42581-0. arXiv: 1802.09382. url: https://doi.org/10.1017/9781108349161.

[Sch20]

Stefan Schwede. “Orbispaces, orthogonal spaces, and the universal compact Lie group”. In: Math. Z. 294.1-2 (2020), pp. 71–107. arXiv: 1711.06019. url: https://doi.org/10.1007/s00209-019-02265-1.

[Sch22]

Stefan Schwede. “Global algebraic K-theory”. In: J. Topol. 15.3 (2022), pp. 1325–1454. arXiv: 1912.08872.