古典的な幾何学

ベクトル空間は, 日本の大学では, 1年生で勉強することになっているが, アフィン空間が, 大学のカリキュラムで扱われることは, あまりないようである。 しかしながら, 単体的複体を定義するときの単体や, より一般の多面体を扱うときには必要になる。

双曲幾何学は, modular formや \(3\)次元多様体の研究で必要になるので, 講義されているところもあると思う。

• Euclid空間の性質
• Euclid幾何学
• アフィン幾何学
• 双曲幾何学
• 射影幾何学

\(n\)次元の双曲幾何は, \(\R ^{n+1}\) 上 \[ b_{n,1}(\bm {x},\bm {y}) = x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n} - x_{n+1}y_{n+1} \] で定義される bilinear form を用いて \(b_{n,1}(\bm {x},\bm {x})=-1\) で定義される空間 (の連結成分) の幾何学であるが, この bilinear form を \[ b_{n-1,2}(\bm {x},\bm {y}) = x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n-1}y_{n-1} -x_{n}y_{n} - x_{n+1}y_{n+1} \] に変えたものは anti-de Sitter geometry と呼ぶようである。\(n=3\) のときは, 一葉双曲面の幾何学であるが。 Barbot らの [Bar+] に anti-de Sitter geometry に関する open question のリストがある。

• anti-de Sitter geometry

これらを統一して扱う方法として, Anan\('\)in と Grossi が [AG11] で提案しているものがある。 その論文では, 複素数や四元数上の双曲幾何学も登場する。

• complex hyperbolic geometry
• quaternionic hyperbolic geometry

References

[AG11]

Sasha Anan’in and Carlos H. Grossi. “Coordinate-free classic geometries”. In: Mosc. Math. J. 11.4 (2011), pp. 633–655, 821. arXiv: math/0702714. url: https://doi.org/10.17323/1609-4514-2011-11-4-633-655.

[Bar+]

Thierry Barbot et al. Some open questions on anti-de Sitter geometry. arXiv: 1205.6103.