Burnside ring に関する Segal 予想

Equivariant stable homotopy における基本的な問題として, Segal 予想があった。有限群 (compact Lie群) の Burnside ring と その群の分類空間の stable cohomotopy 群の関係を述べたものである。

元々の Segal予想は, May と McClure [MM82], Adams と Gunawardena と Miller [AGM85], Adams と Davis と Mahowald と Lin [Lin+80], そして Ravenel [Rav84] などの結果などを元に Carlsson により [Car83; Car84] で解決された。その後, 様々な拡張が試みられている。Ragnarsson の [Rag07] の Introduction をみるとよい。

Burnside ring については, tom Dieck の [Die79] があるので, それを見るのが手っ取り早いと思う。Compact Lie群の Burnside ring についても書いてある。Segal conjecture の元になった, \(K\)-theory に関する Atiyah-Segal の completion theorem も知っておいた方がよいだろう。

• Burnside ring
• Atiyah-Segal completion theorem

Burnside ring の ideal に関する completion を spectrum level で行なうことは, Greenlees と May により, [GM92] で導入された。

• spectrum の Burnside ring に関する completion

これは Segal予想を spectrum level で理解するためのものであり, 様々な代数的構成に対し spectrum の圏における類似が存在することから考えると, 自然な流れである。 Ragnarsson [Rag11] により調べられている。

このように考えると, sphere spectum だけでなく, 一般の \(G\)-spectrum で考えるのが自然である。

Segal予想の一般化としては, Lunøe-Nielsen と Rognes [LR11] の方向もある。巡回群に対してだけであるが, topological Hochschild homology を用いて記述することもできる。 Angelini-Knoll と Quigley [AQ21] が Ravenel の spectrum \(X(n)\) と \(T(n)\) について成り立つことを確かめている。

同じく分類空間に関連した構造として fusion system があるが, Reeh, Schlank, Stapleton [RSS22] により, 分 類空間の間の stable map に対する \(p\)-completion の fusion system による記述が得られている。

References

[AGM85]

J. F. Adams, J. H. Gunawardena, and H. Miller. “The Segal conjecture for elementary abelian \(p\)-groups”. In: Topology 24.4 (1985), pp. 435–460.

[AQ21]

Gabriel Angelini-Knoll and J. D. Quigley. “The Segal conjecture for topological Hochschild homology of Ravenel spectra”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 16.1 (2021), pp. 41–60. arXiv: 1705.03343. url: https://doi.org/10.1007/s40062-021-00275-7.

[Car83]

Gunnar Carlsson. “G. B. Segal’s Burnside ring conjecture for \((\mathbf {Z}/2)^{k}\)”. In: Topology 22.1 (1983), pp. 83–103. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(83)90046-0.

[Car84]

Gunnar Carlsson. “Equivariant stable homotopy and Segal’s Burnside ring conjecture”. In: Ann. of Math. (2) 120.2 (1984), pp. 189–224. url: http://dx.doi.org/10.2307/2006940.

[Die79]

Tammo tom Dieck. Transformation groups and representation theory. Vol. 766. Lecture Notes in Mathematics. Springer, Berlin, 1979, pp. viii+309. isbn: 3-540-09720-1.

[GM92]

J. P. C. Greenlees and J. P. May. “Completions of \(G\)-spectra at ideals of the Burnside ring”. In: Adams Memorial Symposium on Algebraic Topology, 2 (Manchester, 1990). Vol. 176. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1992, pp. 145–178. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511526312.016.

[Lin+80]

W. H. Lin, D. M. Davis, M. E. Mahowald, and J. F. Adams. “Calculation of Lin’s Ext groups”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 87.3 (1980), pp. 459–469. url: https://doi.org/10.1017/S0305004100056899.

[LR11]

Sverre Lunøe-Nielsen and John Rognes. “The Segal conjecture for topological Hochschild homology of complex cobordism”. In: J. Topol. 4.3 (2011), pp. 591–622. arXiv: 1010 . 5635. url: https://doi.org/10.1112/jtopol/jtr015.

[MM82]

J. P. May and J. E. McClure. “A reduction of the Segal conjecture”. In: Current trends in algebraic topology, Part 2 (London, Ont., 1981). Vol. 2. CMS Conf. Proc. Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., 1982, pp. 209–222.

[Rag07]

Kári Ragnarsson. “A Segal conjecture for \(p\)-completed classifying spaces”. In: Adv. Math. 215.2 (2007), pp. 540–568. arXiv: math/ 0503067. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2007.04.006.

[Rag11]

Kári Ragnarsson. “Completion of \(G\)-spectra and stable maps between classifying spaces”. In: Adv. Math. 227.4 (2011), pp. 1539–1561. arXiv: 1001.0771. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2011.03.014.

[Rav84]

Douglas C. Ravenel. “The Segal conjecture for cyclic groups and its consequences”. In: Amer. J. Math. 106.2 (1984). With an appendix by Haynes R. Miller, pp. 415–446. url: https://doi.org/10.2307/2374309.

[RSS22]

Sune Precht Reeh, Tomer M. Schlank, and Nathaniel Stapleton. “A formula for \(p\)-completion by way of the Segal conjecture”. In: Topology Appl. 322 (2022), Paper No. 108255, 30. arXiv: 1704.00271. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2022.108255.